Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Вася выписал в строку натуральные числа $a_1 < a_2 < \ldots < a_{10}$ . Оказалось, что среднее арифметическое этих чисел равно $25$ Какое наименьшее значение может принимать число $a_{10}$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Чему равна сумма всех десяти чисел? Если последнее число равно $m$ какой может быть сумма самое большее? В модели собирай свой ряд и старайся сделать последнее число поменьше. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРяд со средним 25

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ряд со средним 25

Каким маленьким может быть последнее число строго возрастающего ряда с нужным средним?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши десять возрастающих натуральных чисел с суммой 250. Попробуй сделать последнее число как можно меньше. Получится ли 29?

Подсказка 1

Сумма чисел равна $10 \cdot 25 = 250$ Если $a_{10} = m$ то $a_9 \leqslant m - 1$ $a_8 \leqslant m - 2$ … Какой самой большой может быть сумма?

Подсказка 2

Сумма не больше $m + (m - 1) + \ldots + (m - 9) = 10m - 45$ . При каких $m$ она может быть равна $250$ Не забудь построить пример.

Разобрать решение по шагам

Сумма чисел

Среднее арифметическое десяти чисел равно $25$ значит, их сумма равна $10 \cdot 25 = 250$

Оценка: последнее число не меньше 30

Пусть $a_{10} = m$ Числа целые и строго возрастают, поэтому $a_9 \leqslant m - 1$ $a_8 \leqslant m - 2$ …, $a_1 \leqslant m - 9$ Складываем:

250 = a_1 + \ldots + a_{10} \leqslant (m - 9) + (m - 8) + \ldots + m = 10m - 45.

Отсюда $10m \geqslant 295$ $m \geqslant 29{,}5$ а так как $m$ целое, $m \geqslant 30$

Пример с последним числом 30

Возьмём десять чисел подряд, заканчивающихся на $30$ $21, 22, \ldots, 30$ Их сумма $255$ — на $5$ больше нужной. Уменьшим на $1$ каждое из первых пяти чисел:

20,\ 21,\ 22,\ 23,\ 24,\ 26,\ 27,\ 28,\ 29,\ 30.

Числа натуральные и строго возрастают, сумма $110 + 140 = 250$ среднее $25$

Ответ

Наименьшее возможное $a_{10} = 30$ В общем виде для $n$ чисел со средним $M$ ответ — наименьшее целое $m \geqslant M + \frac{n - 1}{2}$ ; при чётном $n$ это $M + \frac{n}{2}$

Проверка

Тест для каждой версии строит пример жадным способом и проверяет все условия, а на шести маленьких аналогах (от $3$ до $7$ чисел, среднее от $4$ до $9$ ) полный перебор возрастающих рядов даёт то же наименьшее последнее число, что и формула. Другие версии: ID 3958 ( $12$ чисел, среднее $27$ сумма $324 \leqslant 12m - 66$ ): $33$ ID 3957 ( $14$ чисел, среднее $29$ сумма $406 \leqslant 14m - 91$ ): $36$ ID 3988 ( $16$ чисел, среднее $31$ сумма $496 \leqslant 16m - 120$ ): $39$

Ответ

$30$

Ответ

$30$

Главная идея

Если последнее число m, то сумма не больше m + (m − 1) + … + (m − 9) = 10m − 45; из 10m − 45 ⩾ 250 получаем m ⩾ 30, а ряд 20, …, 24, 26, …, 30 показывает, что 30 достигается.

Наименьший максимум при известной сумме — сделай все числа как можно ближе к максимуму (подряд перед ним), получи оценку и подгони пример.

Где легко ошибиться

Остановиться на m ⩾ 29,5 и ответить 29; не привести пример; взять пример с повторяющимися числами (нужно строгое возрастание).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 3, версия с ID 3955 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3958, 3957, 3988) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 3 ↗: ID 3955: 30; ID 3958: 33; ID 3957: 36; ID 3988: 39.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

Среднее арифметическое
Сумма подряд идущих чисел

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Обоснованный жадный выбор

Задать вопрос по задаче →