Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

В треугольнике $PQR$ на стороне $PQ$ выбрана точка $K$ а на стороне $QR$ — точка $L$ Отрезки $PL$ и $KR$ пересекаются в точке $T$ Чему равна площадь треугольника $PQR$ если $S_{PKT} = 10$ $S_{PTR} = 11$ $S_{RTL} = 12$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Отрезки делят треугольник на пять частей, три площади известны. Обозначь две неизвестные и вспомни: у треугольников с общей вершиной и основаниями на одной прямой площади относятся как основания. В модели двигай $K$ и $L$ и подгоняй площади. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПять частей треугольника

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Пять частей треугольника

Где стоят K и L, если три части треугольника имеют данные площади, и чему равны две оставшиеся?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй треугольник PQR, точки K на PQ и L на QR, отрезки PL и KR. Подпиши площади 10, 11, 12 и неизвестные u, v. Запиши KT : TR двумя способами: через вершину P и через вершину Q.

Подсказка 1

Пусть $u = S_{QKT}$ $v = S_{QLT}$ Треугольники $PKT$ и $PTR$ имеют общую вершину $P$ поэтому $KT : TR = 10 : 11$ Какие ещё два треугольника с основаниями $KT$ и $TR$ имеют общую вершину?

Подсказка 2

Получаются два уравнения: $\frac{u}{v + 12} = \frac{10}{11}$ (вершина $Q$ основания $KT$ и $TR$ ) и $\frac{10 + u}{v} = \frac{11}{12}$ (вершина $Q$ основания $PT$ и $TL$ ).

Разобрать решение по шагам

Два отношения отрезков

Обозначим $a = S_{PKT} = 10$ $b = S_{PTR} = 11$ $c = S_{RTL} = 12$ и неизвестные $u = S_{QKT}$ $v = S_{QLT}$

У треугольников с общей вершиной и основаниями на одной прямой площади относятся как основания. Треугольники $PKT$ и $PTR$ (вершина $P$ основания на $KR$ ): $KT : TR = a : b$ Треугольники $RTL$ и $RTP$ (вершина $R$ основания на $PL$ ): $TL : PT = c : b$

Те же отношения через вершину Q

Треугольники $QKT$ и $QTR$ имеют общую вершину $Q$ и основания $KT$ $TR$ при этом $S_{QTR} = v + c$ Значит,

\frac{u}{v + c} = \frac{a}{b}.

Треугольники $QPT$ и $QTL$ имеют общую вершину $Q$ и основания $PT$ $TL$ $S_{QPT} = a + u$ Значит,

\frac{a + u}{v} = \frac{b}{c}.

Рисунок в масштабе, но для своих площадей a = 4, b = 6, c = 3 (при площадях 10, 11, 12 две верхние части в сотни раз больше трёх нижних). Те же формулы дают u = 5, v = 4,5 и S = 22,5.

Решаем систему

Из первого уравнения $u = \frac{a(v + c)}{b}$ Подставим во второе: $c\left(a + \frac{a(v + c)}{b}\right) = bv$ , то есть $ac(b + c + v) = b^2 v$ откуда

v = \frac{ac(b + c)}{b^2 - ac}, \qquad u = \frac{ac(a + b)}{b^2 - ac}.

Здесь $b^2 - ac = 121 - 120 = 1$ поэтому $v = 120 \cdot 23 = 2760$ $u = 120 \cdot 21 = 2520$

Площадь треугольника

S_{PQR} = 10 + 11 + 12 + 2520 + 2760 = 5313.

В общем виде, после приведения к общему знаменателю, $S = \frac{b(a + b)(b + c)}{b^2 - ac}$ ; здесь $\frac{11 \cdot 21 \cdot 23}{1} = 5313$ . Такой треугольник существует при $b^2 > ac$ когда три данные площади почти равны, остальные две части огромные — поэтому рисунок ниже сделан для других площадей.

Проверка

Тест строит треугольник по найденным отношениям $PK : PQ = \frac{a + b}{S}$ и $QL : QR = \frac{a + u + v}{S}$ и проверяет, что три части имеют ровно данные площади (после масштабирования), а для случайных треугольников и точек формула $\frac{b(a + b)(b + c)}{b^2 - ac}$ даёт их площадь. При $b^2 \leqslant ac$ такого треугольника нет. Во всех версиях данные — три последовательных числа $n - 1$ $n$ $n + 1$ поэтому $b^2 - ac = 1$ и $S = n(2n - 1)(2n + 1) = 4n^3 - n$ : ID 3974 ( $11, 12, 13$ ): $6900$ ID 3973 ( $12, 13, 14$ ): $8775$ ID 3972 ( $9, 10, 11$ ): $3990$

Ответ

$5313$

Ответ

$5313$

Главная идея

Отношения KT : TR = a : b и PT : TL = b : c записываются дважды — через вершину P или R и через вершину Q; из двух уравнений u = ac(a + b)/(b² − ac), v = ac(b + c)/(b² − ac), а S = b(a + b)(b + c)/(b² − ac) = 5313.

Треугольник разрезан чевианами, известны площади части кусков — отношения отрезков через площади треугольников с общей вершиной, по два способа для каждого отношения.

Где легко ошибиться

Взять отношение площадей треугольников, у которых основания не лежат на одной прямой; приравнять S(QTR) к v, забыв кусок c; решить систему с арифметической ошибкой — проверка: b² − ac = 1.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 7, версия с ID 3971 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3974, 3973, 3972) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 7 ↗: ID 3971: 5 313; ID 3974: 6 900; ID 3973: 8 775; ID 3972: 3 990.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площадь треугольника
Отношение площадей треугольников с общей высотой

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →