Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Для каждого целого $k$ $(-36 \leqslant k \leqslant 15)$ Петя выписал на доску трёхчлен $y = x^2 + kx + 117$ После чего Вася для каждого из этих трёхчленов выписал его действительные корни (если они есть). Чему равна сумма выписанных Васей чисел?

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Не нужно находить сами корни. При каких $k$ корни вообще есть? И чему равна сумма корней одного трёхчлена? В модели выбирай $k$ и смотри, что Вася записывает на доску. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДоска Васи

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Доска Васи

При каких k у трёхчлена есть корни и чему равна их сумма?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай дискриминант трёхчлена x² + kx + 117 при k = −21, −22 и −36. При каких k корни есть? Чему равна сумма корней при k = −22?

Подсказка 1

Корни есть, когда дискриминант $k^2 - 4 \cdot 117 = k^2 - 468$ неотрицателен. Между какими соседними квадратами лежит $468$ Какие $k$ из отрезка $[-36; 15]$ подходят?

Подсказка 2

По теореме Виета сумма двух корней трёхчлена $x^2 + kx + 117$ равна $-k$ Может ли у какого-то из подходящих трёхчленов быть один (двойной) корень?

Разобрать решение по шагам

Какие трёхчлены имеют корни

Трёхчлен $x^2 + kx + 117$ имеет действительные корни, когда $D = k^2 - 468 \geqslant 0$ . Так как $21^2 = 441 < 468 < 484 = 22^2$ , для целого $k$ это значит $|k| \geqslant 22$

Из отрезка $-36 \leqslant k \leqslant 15$ подходят только $k = -36, -35, \ldots, -22$ — это $15$ трёхчленов (положительных $k \geqslant 22$ в отрезке нет).

Сколько корней у каждого

Число $468$ — не точный квадрат, поэтому $D = k^2 - 468 \ne 0$ при целом $k$ у каждого подходящего трёхчлена два различных корня, Вася записывает оба.

Повторяться числа на доске не могут: если $x$ — корень двух трёхчленов с $k_1 \ne k_2$ то $x^2 + k_1 x + 117 = x^2 + k_2 x + 117$ , откуда $(k_1 - k_2)x = 0$ и $x = 0$ но $0$ не корень, ведь $117 \ne 0$

Сумма по теореме Виета

Сумма корней трёхчлена $x^2 + kx + 117$ равна $-k$ Значит, сумма всех чисел Васи равна

36 + 35 + \ldots + 22 = \frac{(22 + 36) \cdot 15}{2} = 435.

Проверка

Модель для каждого $k$ считает дискриминант и корни, а тест складывает численно найденные корни всех трёхчленов отрезка и получает ту же сумму. Другие версии: ID 3950 ( $-11 \leqslant k \leqslant 33$ , свободный член $95$ $19^2 < 380 < 20^2$ ): $-(20 + \ldots + 33) = -371$ ; ID 3949 ( $-42 \leqslant k \leqslant 19$ , $207$ $28^2 < 828 < 29^2$ ): $29 + \ldots + 42 = 497$ ID 3948 ( $-21 \leqslant k \leqslant 39$ , $151$ $24^2 < 604 < 25^2$ ): $-(25 + \ldots + 39) = -480$ .

Ответ

$435$

Ответ

$435$

Главная идея

Корни есть только при |k| ⩾ 22; двойных корней нет, потому что 468 — не квадрат; сумма корней каждого трёхчлена по теореме Виета равна −k, так что ответ — сумма 22 + … + 36.

Нужна сумма корней многих уравнений — не ищи корни, а считай по теореме Виета; отдельно проверь, у каких уравнений корни есть и нет ли двойных.

Где легко ошибиться

Сложить −k по всем k отрезка, забыв про отрицательный дискриминант; считать двойной корень дважды; ошибиться в знаке (сумма корней −k, а k отрицательны).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 1, версия с ID 3947 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3950, 3949, 3948) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 1 ↗: ID 3947: 435; ID 3950: −371; ID 3949: 497; ID 3948: −480.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Честно: официальные ответы этой задачи были видны раньше, при разметке источников, до записи собственного решения; решение и проверка всё равно выполнены полностью.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Дискриминант квадратного трёхчлена
Теорема Виета
Сумма арифметической прогрессии

Приёмы решения: Теорема Виета · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →