Задача 2. Целые части квадратов

Шаг между соседними дробями

Обозначим $f(n) = \left[\frac{n^2}{2024}\right]$. Соседние дроби отличаются на

Этот шаг меньше $1$ при $2n + 1 < 2024$, то есть при $n \leqslant 1011$, и больше $1$ при $n \geqslant 1012$.

Первая половина: все числа от 0 до 506

Если $x < y < x + 1$, то целые части $x$ и $y$ равны или отличаются на $1$. Поэтому при $n = 1, 2, \ldots, 1012$ целая часть растёт без пропусков: от $f(1) = 0$ до $f(1012) = \frac{1012^2}{2024} = 506$.

Значит, для $n \leqslant 1012$ на доске появляются ровно числа $0, 1, \ldots, 506$ — это $507$ чисел.

Вторая половина: все целые части разные

При $n \geqslant 1012$ шаг больше $1$: $\frac{(n+1)^2}{2024} > \frac{n^2}{2024} + 1$, поэтому $f(n+1) \geqslant f(n) + 1$. Целые части $f(1013), f(1014), \ldots, f(2024)$ строго возрастают и все больше $f(1012) = 506$.

Это ещё $2024 - 1012 = 1012$ новых чисел.

Ответ

Всего $507 + 1012 = 1519$ чисел. В общем виде при $N$, делящемся на $4$, получается $\frac{N}{4} + 1$ чисел в первой половине и $\frac{N}{2}$ во второй, итого $\frac{3N}{4} + 1$.