Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Из точки $M$ проведены две перпендикулярные друг другу касательные к параболе $y = x^2 + 3x + 2$ Найдите минимально возможную ординату точки $M$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Запиши касательную в точке с абсциссой $t$ и найди, где пересекаются две касательные. Что даёт перпендикулярность? В модели ставь $M$ и ищи несколько точек с прямым углом — сравни их ординаты. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКасательные из точки M

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Касательные из точки M

Где стоят точки, из которых две касательные к параболе перпендикулярны?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Найди касательные к параболе y = x² + 3x + 2 с угловыми коэффициентами 1 и −1, а потом 2 и −1/2. Где пересекается каждая пара? Сравни ординаты.

Подсказка 1

Касательная в точке с абсциссой $t$ $y = (2t + 3)x - t^2 + 2$ Касательные в точках $t_1$ и $t_2$ пересекаются при $x = \frac{t_1 + t_2}{2}$ Чему равна ордината точки пересечения?

Подсказка 2

Перпендикулярность: произведение угловых коэффициентов $(2t_1 + 3)(2t_2 + 3) = -1$ . Раскрой скобки и сравни с ординатой точки пересечения.

Разобрать решение по шагам

Касательная в точке t

Производная $y' = 2x + 3$ поэтому касательная в точке параболы с абсциссой $t$

y = (2t + 3)(x - t) + t^2 + 3t + 2 = (2t + 3)x - t^2 + 2.

Точка пересечения двух касательных

Касательные в точках $t_1 \ne t_2$ пересекаются, когда $(2t_1 + 3)x - t_1^2 = (2t_2 + 3)x - t_2^2$ , то есть $2(t_1 - t_2)x = t_1^2 - t_2^2$ и $x = \frac{t_1 + t_2}{2}$ Ордината:

y = (2t_1 + 3)\cdot\frac{t_1 + t_2}{2} - t_1^2 + 2 = t_1 t_2 + \frac32 (t_1 + t_2) + 2.

Перпендикулярность

Касательные перпендикулярны, когда $(2t_1 + 3)(2t_2 + 3) = -1$ , то есть $4t_1 t_2 + 6(t_1 + t_2) + 9 = -1$ и

t_1 t_2 + \frac32 (t_1 + t_2) = -\frac52.

Значит, ордината точки пересечения $y = -\frac52 + 2 = -\frac12$ — одна и та же для любой пары перпендикулярных касательных.

Ответ

Такие точки есть: например, касательные с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$ (в точках $t = -1$ и $t = -2$ ) пересекаются в точке $\left(-\frac32; -\frac12\right)$ . Все точки, из которых касательные перпендикулярны, лежат на прямой $y = -\frac12$ поэтому наименьшая (и единственная) возможная ордината равна $-0{,}5$

Эта прямая — директриса параболы: вершина $\left(-\frac32; -\frac14\right)$ , расстояние от вершины до фокуса и до директрисы равно $\frac14$

Проверка

Тест для каждой версии проверяет в $81$ точке прямой $y = q - \frac{p^2 + 1}{4}$ (абсциссы от $-10$ до $10$ ), что касательные из них перпендикулярны, а чуть ниже прямой угол острый, чуть выше — тупой. Модель строит касательные из любой точки под параболой и измеряет угол между ними. Другие версии ( $y = x^2 + px + q$ ответ $q - \frac{p^2 + 1}{4}$ ): ID 3979 ( $x^2 + 4x + 3$ ): $-1{,}25$ ID 3978 ( $x^2 + 2x + 1$ ): $-0{,}25$ ID 3977 ( $x^2 + 5x + 4$ ): $-2{,}5$

Ответ

$-0{,}5$

Ответ

$-0{,}5$

Главная идея

Касательные в точках t₁, t₂ пересекаются в точке с ординатой t₁t₂ + 3(t₁ + t₂)/2 + 2, а перпендикулярность даёт t₁t₂ + 3(t₁ + t₂)/2 = −5/2; поэтому ордината всегда −1/2 (это директриса параболы).

Касательные к параболе из точки — касательная через абсциссу точки касания; условия на угол и точку пересечения выражаются через сумму и произведение абсцисс.

Где легко ошибиться

Искать минимум функции, не заметив, что ордината постоянна; перепутать условие перпендикулярности (произведение коэффициентов −1) с равенством модулей.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 8, версия с ID 3976 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3979, 3978, 3977) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 8 ↗: ID 3976: −0,5; ID 3979: −1,25; ID 3978: −0,25; ID 3977: −2,5.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Функции и графики →

Тема, знания и приёмы

Функции и графики · Начальный вход

Уравнение касательной
Условие перпендикулярности прямых

Приёмы решения: Координаты и проекции · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →