Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Числа $a$ $b$ таковы, что $|a| \leqslant 6$ $|b| \leqslant 6$ Какое наибольшее значение может принимать выражение $a^3 b - 3a^2 b^2$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Что будет, если зафиксировать $a$ и менять только $b$ Какая функция от $b$ получится? В модели ищи на карте квадрата самую яркую зелёную точку. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКарта значений на квадрате

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Карта значений на квадрате

В какой точке квадрата выражение принимает наибольшее значение?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми a = 6 и посчитай выражение при b = 0, 1, 2, 3. При каком b оно больше всего? А что будет при a = 3?

Подсказка 1

При фиксированном $a \ne 0$ выражение $a^3 b - 3a^2 b^2$ — квадратный трёхчлен от $b$ с отрицательным старшим коэффициентом $-3a^2$ Где его вершина?

Подсказка 2

Вершина при $b = \frac{a}{6}$ и она лежит в отрезке $[-6; 6]$ Чему равно значение в вершине и при каком $a$ оно наибольшее?

Разобрать решение по шагам

Фиксируем a

Если $a = 0$ выражение равно $0$ Пусть $a \ne 0$ фиксировано. Тогда

g(b) = a^3 b - 3a^2 b^2 = -3a^2 b^2 + a^3 b

— квадратный трёхчлен от $b$ со старшим коэффициентом $-3a^2 < 0$ Его наибольшее значение — в вершине $b = \frac{a^3}{2 \cdot 3a^2} = \frac{a}{6}$ .

Так как $|a| \leqslant 6$ вершина $\frac{a}{6}$ лежит в отрезке $[-1; 1] \subset [-6; 6]$ то есть это допустимое $b$

Значение в вершине

g\left(\frac{a}{6}\right) = \frac{a^4}{6} - 3a^2 \cdot \frac{a^2}{36} = \frac{a^4}{6} - \frac{a^4}{12} = \frac{a^4}{12}.

Значит, при любых допустимых $a$ $b$ выражение не больше $\frac{a^4}{12} \leqslant \frac{6^4}{12} = \frac{1296}{12} = 108$ .

Значение 108 достигается

При $a = 6$ $b = 1$ $6^3 \cdot 1 - 3 \cdot 36 \cdot 1 = 216 - 108 = 108$ . Ответ: $108$

Другой взгляд (так рассуждает официальное решение):

a^2 b(a - 3b) = \frac{a^2}{3} \cdot 3b \cdot (a - 3b) \leqslant \frac{a^2}{3} \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^4}{12}

потому что $xy \leqslant \left(\frac{x + y}{2}\right)^2$ для любых чисел $x$ $y$ (это неравенство равносильно $(x - y)^2 \geqslant 0$ ).

Проверка

Тест проверяет на мелкой сетке по всему квадрату, что значение нигде не больше найденного максимума и подходит к нему вплотную, а для каждого фиксированного $a$ — что лучшее $b$ равно вершине $\frac{a}{2m}$ Другие версии (выражение $a^3 b - m a^2 b^2$ максимум $\frac{6^4}{4m}$ при $a = 6$ $b = \frac{3}{m}$ ): ID 3964 ( $m = 2$ ): $162$ ID 3965 ( $m = 6$ ): $54$ ID 3966 ( $m = 5$ ): $64{,}8$

Ответ

$108$

Ответ

$108$

Главная идея

При фиксированном a выражение — парабола по b с вершиной b = a/6 внутри отрезка; в вершине значение a⁴/12, оно наибольшее при |a| = 6: 108 при a = 6, b = 1.

Максимум выражения от двух переменных на прямоугольнике — зафиксируй одну переменную, найди лучшее значение другой и сведи к функции одной переменной.

Где легко ошибиться

Подставить угловые точки квадрата (a = b = ±6) и получить отрицательное значение; забыть проверить, что вершина лежит внутри отрезка для b.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 5, версия с ID 3963 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3964, 3965, 3966) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 5 ↗: ID 3963: 108; ID 3964: 162; ID 3965: 54; ID 3966: 64,8.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

Вершина параболы
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →