Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Сколько пар натуральных чисел $(a; b)$ таких, что сумма $a + b$ чётна, удовлетворяют равенству $(a + 1)a + 7b = 1\,000\,001$ ?

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Если $a$ выбрано, то $b$ определяется однозначно — но будет ли оно натуральным? На что должно делиться $1\,000\,001 - a(a + 1)$ И какой чётности будут $a$ и $b$ В модели пробуй разные $a$ и ищи закономерность в окне из $28$ чисел. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОкно из 28 значений a

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Окно из 28 значений a

Какие a дают подходящую пару, и сколько их всего?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Для a = 1, 2, …, 14 вычисли a(a + 1) и его остаток при делении на 7; отметь a, для которых остаток равен 2 и a нечётно. Какие остатки при делении на 14 получились?

Подсказка 1

Число $a(a + 1)$ всегда чётное, поэтому $7b$ а значит, и $b$ имеет ту же чётность, что и $1\,000\,001$ Какой тогда должна быть чётность $a$

Подсказка 2

$1\,000\,001 = 7 \cdot 142\,857 + 2$ . Число $b$ целое, только если $a(a + 1)$ даёт остаток $2$ при делении на $7$ Переберите остатки $a$ от $0$ до $6$

Разобрать решение по шагам

Чётность

Произведение двух соседних чисел $a(a + 1)$ чётно. Число $1\,000\,001$ нечётно, поэтому $7b = 1\,000\,001 - a(a + 1)$ нечётно, и $b$ нечётно. Сумма $a + b$ чётна, значит, $a$ тоже нечётно.

Обратно: если $a$ нечётно и $b$ — натуральное решение равенства, то $b$ автоматически нечётно и $a + b$ чётна.

Остатки при делении на 7

$1\,000\,001 = 7 \cdot 142\,857 + 2$ . Число $b = \dfrac{1\,000\,001 - a(a + 1)}{7}$ целое, только если $a(a + 1)$ даёт остаток $2$ при делении на $7$ Остаток $a(a + 1)$ зависит только от остатка $a$

остаток $a$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
остаток $a(a+1)$	$0$	$2$	$6$	$5$	$6$	$2$	$0$

Подходят $a \equiv 1$ и $a \equiv 5 \pmod 7$ Вместе с нечётностью: $a \equiv 1$ или $a \equiv 5 \pmod{14}$ (числа $1$ и $5$ нечётны, а $8$ и $12$ чётны).

Граница для a

$b$ натуральное, то есть $b \ge 1$ $a(a + 1) \le 1\,000\,001 - 7 = 999\,994$ . Так как $999 \cdot 1000 = 999\,000 \le 999\,994$ , а $1000 \cdot 1001 > 999\,994$ , это равносильно $a \le 999$

Итак, подходят ровно все $a \le 999$ с остатком $1$ или $5$ при делении на $14$ и для каждого из них $b$ определено однозначно.

Подсчёт

Числа $1, 15, 29, \ldots, 995 = 1 + 14 \cdot 71$ — их $72$ Числа $5, 19, \ldots, 999 = 5 + 14 \cdot 71$ — тоже $72$ Всего

72 + 72 = 144 \text{ пары}.

Например, $a = 1$ $b = \frac{1\,000\,001 - 2}{7} = 142\,857$ , сумма $142\,858$ чётна; $a = 999$ $b = \frac{1\,000\,001 - 999\,000}{7} = 143$ , сумма $1142$ чётна.

Проверка

Полный перебор всех $a$ с $a(a + 1) < 1\,000\,001$ находит ровно $144$ подходящих пары. Модель для любого $a$ находит $b$ и проверяет, натуральное ли оно и чётна ли сумма; окно из $28$ подряд идущих $a$ показывает, что подходят ровно два остатка по модулю $14$ Во всех версиях правая часть даёт остаток $2$ при делении на $7$ Другие версии: ID 3655 ( $3\,000\,006$ чётное): $a$ чётно, $a \equiv 8, 12 \pmod{14}$ $a \le 1731$ $124 + 123 = 247$ ID 3656 ( $4\,000\,005$ ): $a \equiv 1, 5 \pmod{14}$ $a \le 1999$ $143 + 143 = 286$ ID 3657 ( $5\,000\,004$ ): $a \equiv 8, 12 \pmod{14}$ $a \le 2235$ $160 + 159 = 319$

Ответ

$144$

Ответ

$144$

Главная идея

Чётность фиксирует чётность a, остаток по модулю 7 — два остатка a; вместе это два остатка по модулю 14, а граница b ≥ 1 даёт a ≤ 999: 72 + 72.

Уравнение с одной «свободной» переменной: b выражается через a, остаётся понять, при каких a оно натуральное, — остатки и граница.

Где легко ошибиться

Забыть про условие на чётность суммы или про b ≥ 1; ошибиться в таблице остатков a(a + 1); посчитать граничные числа прогрессии на единицу больше или меньше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 3632 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3655, 3656, 3657) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 1 попытка 2024», стр. 11 ↗: ID 3632: 144; ID 3655: 247; ID 3656: 286; ID 3657: 319.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Остатки и последние цифры →

Тема, знания и приёмы

Остатки и последние цифры · Нужна школьная база

Остатки при делении
Чётность
Число членов арифметической прогрессии

Приёмы решения: Сравнение остатков · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →