Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Числа $p$ и $q$ — простые, и при этом выполнено равенство $7p + q^5 = 17\,528$ Найдите наибольшее возможное значение суммы $p + q$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Перебирать $p$ долго — их сотни. А сколько вариантов у $q$ И на что делится число $17\,528$ В модели выбирай простое $q$ и смотри, делится ли остаток на $7$ равных частей. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДелим остаток на 7 частей

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Делим остаток на 7 частей

При каком простом q число 17 528 − q⁵ делится на 7 и даёт простое p?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Вычисли 2⁵, 3⁵, 5⁵, 7⁵ и вычти каждое из 17 528. Какой из остатков делится на 7?

Подсказка 1

Разделите $17\,528$ на $7$ Что тогда можно сказать о числе $q^5 = 17\,528 - 7p$

Подсказка 2

$17\,528 = 7 \cdot 2504$ поэтому $q^5 = 7(2504 - p)$ делится на $7$ Если степень простого числа делится на простое $7$ то само это простое число равно $7$

Разобрать решение по шагам

Делимость на 7

Заметим, что $17\,528 = 7 \cdot 2504$ Тогда

q^5 = 17\,528 - 7p = 7 \cdot (2504 - p)

делится на $7$ Число $q^5 = q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q$ , а $7$ — простое число; если $7$ делит произведение, то $7$ делит один из множителей, то есть $q$ Простое $q$ делящееся на $7$ равно $7$

Находим p

При $q = 7$ $q^5 = 16\,807$ и

7p = 17\,528 - 16\,807 = 721, \qquad p = 103.

Число $103$ простое: оно не делится на $2$ $3$ $5$ $7$ (а $11^2 = 121 > 103$ так что больших делителей проверять не нужно).

Ответ единственный

Других простых $q$ нет (шаг 1), поэтому пара $(p; q) = (103; 7)$ — единственная, и «наибольшее значение» суммы — это просто её значение:

p + q = 103 + 7 = 110.

Проверка: $7 \cdot 103 + 7^5 = 721 + 16\,807 = 17\,528$ .

Проверка

Полный перебор всех простых $q$ с $q^5 < 17\,528$ (это $2, 3, 5, 7$ ) и всех простых $p$ находит только пару $(103; 7)$ Модель показывает, что при $q = 2, 3, 5$ остаток $17\,528 - q^5$ не делится на $7$ а при $q = 11$ уже $q^5$ больше $17\,528$ Другие официальные версии: $7p + q^5 = 17\,556$ — $p = 107$ сумма $114$ $11p + q^4 = 15\,752$ — $q = 11$ $p = 101$ сумма $112$ $11p + q^4 = 15\,774$ — $p = 103$ сумма $114$ (в каждой версии правая часть делится на коэффициент при $p$ ).

Ответ

$110$

Ответ

$110$

Главная идея

Правая часть делится на 7, поэтому q⁵ делится на 7 и простое q равно 7; дальше p находится однозначно.

Уравнение в простых числах — ищем делимость, которая фиксирует одно из простых.

Где легко ошибиться

Перебирать p вслепую; забыть проверить, что найденное p простое; искать «наибольшее» среди нескольких пар, которых на самом деле нет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 3625 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3634, 3635, 3636) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 1 попытка 2024», стр. 2 ↗: ID 3625: 110; ID 3634: 114; ID 3635: 112; ID 3636: 114.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Простые числа
Если простое число делит произведение, оно делит один из множителей

Приёмы решения: Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →