Задача 1. Серединный перпендикуляр и описанная окружность

Треугольник APC — равнобедренный

Точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, поэтому $PC = PA = 1$. По условию $BP = 2 \cdot PC = 2$, значит, $BC = BP + PC = 3$.

$P$ лежит на стороне $BC$, поэтому луч $CP$ совпадает с лучом $CB$ и $\angle ACP = \angle ACB = C$. В равнобедренном треугольнике $APC$ углы при основании $AC$ равны, их сумма меньше $180^\circ$ — значит, угол $C$ острый.

Синус угла C

$BH$ — высота, треугольник $BHC$ прямоугольный с прямым углом при $H$ (точка $H$ может лежать и на продолжении $AC$ за точку $A$, угол $C$ при этом тот же). Поэтому

Угол $C$ острый, поэтому он определяется синусом однозначно. Вместе с $PC = 1$ и $BC = 3$ это задаёт весь треугольник: $AC = 2 \cdot PC \cdot \cos C$.

Теорема синусов

В треугольнике $APC$ сторона $AP$ лежит против угла $C$. По теореме синусов $AP = 2R \sin C$, откуда

Других треугольников с этими данными нет, поэтому радиус принимает единственное значение — оно и есть наименьшее возможное.

Такой треугольник существует: $\cos C = \frac{\sqrt{35}}{6}$, $AC = 2\cos C = \frac{\sqrt{35}}{3} > 0$. В общем виде, при $AP = a$, $BP : PC = k$, $BH = h$: $R = \dfrac{a}{2\sin C} = \dfrac{a^2 (k + 1)}{2h}$.

Когда треугольника нет

Формула работает, только если $\sin C = \dfrac{h}{(k + 1)a} < 1$, то есть высота $BH$ меньше стороны $BC$.

В версии ID 3623 $AP = 2$, $BP : PC = 0{,}5$, $BH = 3$: $BC = 3 = BH$. Тогда $\sin C = 1$, угол $C$ прямой — но он должен быть острым, а $AC = 2 \cdot PC \cdot \cos 90^\circ = 0$: точки $A$ и $C$ совпадают. Треугольника нет. Формальное значение $\frac{a^2(k+1)}{2h}$ здесь равно $1$; организаторы засчитывали его, а также «$-1$» и «нет решений».