Задача 5. Квадрат из центра вписанной окружности

KBMP — квадрат со стороной r

Углы $BKP$ и $BMP$ вписаны в окружность и опираются на её диаметр $BP$, поэтому они прямые: $PK \perp AB$, $PM \perp BC$. В четырёхугольнике $KBMP$ три прямых угла (ещё угол $B$), значит, это прямоугольник.

$P$ — точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности. Она равноудалена от всех сторон: $PK = PM = r$, где $r$ — радиус вписанной окружности, а $K$ и $M$ — точки касания. Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат, и его площадь равна $r^2$.

Прямоугольный треугольник EPT

$PK \perp AB$ и $BC \perp AB$, поэтому прямая $KP$ параллельна $BC$; точно так же $MP \parallel AB$. Прямые $PE$ и $PT$ параллельны катетам и потому перпендикулярны друг другу: $\angle EPT = 90^\circ$.

Треугольник $EPT$ прямоугольный, его гипотенуза $ET$ лежит на $AC$:

Стороны $PT \parallel AB$ и $PE \parallel BC$, поэтому треугольник $TPE$ подобен треугольнику $ABC$ и $AB : BC = PT : EP = 3 : 4$.

Высота из P — это радиус

Опустим перпендикуляр $PF$ на гипотенузу. С одной стороны, $PF$ — высота треугольника $EPT$. С другой стороны, $P$ — центр вписанной окружности, и $PF = r$ ($F$ — третья точка касания).

Удвоенную площадь треугольника $EPT$ считаем двумя способами: $EP \cdot PT = ET \cdot PF$, откуда

Площадь и проверка существования

В общем виде, при $EP = a$, $PT = b$: $r = \dfrac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $S = \dfrac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

Такой треугольник есть. Возьмём прямоугольный треугольник с катетами $AB : BC = 3 : 4$ и радиусом вписанной окружности $\frac{12}{5}$ — это катеты $7{,}2$ и $9{,}6$ (тогда $AC = 12$, $r = \frac{7{,}2 + 9{,}6 - 12}{2} = 2{,}4$). Его треугольник $EPT$ подобен $ABC$ с высотой $\frac{12}{5}$, поэтому его катеты ровно $3$ и $4$.