Задача 6. Новогодний подарок и вероятности

Первое условие: съедена половина подарка

Пусть в подарке $n$ карамелек, $10$ шоколадных конфет и $k$ ирисок, $N = n + 10 + k \ge 40$, и Серёжа съедает $x$ ирисок ($1 \le x \le k$). Вероятность вытянуть шоколадную конфету была $\frac{10}{N}$, а станет $\frac{10}{N - x}$ — шоколадных столько же, а всех конфет меньше. Она удваивается:

Серёжа съедает ровно половину подарка; в частности, $N$ чётно.

Второе условие: карамелек вдвое больше оставшихся ирисок

После этого ирисок $k - x$ из $\frac N2$ конфет, а карамельку из целого подарка вытягивают с вероятностью $\frac nN$:

Связь между k и N

Подставим $n = 2(k - x)$ и $x = \frac N2$ в $N = n + 10 + k$:

Чем больше $N$, тем больше $k$. Поэтому наименьшее число ирисок даёт наименьшее подходящее $N \ge 40$.

Наименьшее подходящее N

$N$ должно быть чётным (шаг 1), и $2N - 10$ должно делиться на $3$. Это значит $2N \equiv 1 \pmod 3$, то есть $N \equiv 2 \pmod 3$. Вместе с чётностью получаем $N \equiv 2 \pmod 6$.

$N = 40$ и $N = 42$ не подходят ($40 \equiv 1$, $42 \equiv 0 \pmod 3$), подходит $N = 44$:

Проверка: $8 + 10 + 26 = 44$. Шоколадная конфета: было $\frac{10}{44}$, стало $\frac{10}{22}$ — вдвое больше. Ириска после: $\frac{4}{22} = \frac{2}{11}$, карамелька до: $\frac{8}{44} = \frac{2}{11}$. Все три типа есть, $x \le k$. Ответ: $26$.