Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Ваня с родителями ест плитку шоколада. Сначала мама откусила $13$ -ую часть плитки, а оставшуюся часть отдала Ване. Затем Ваня откусил $13$ -ую часть от того, что осталось, и отдал остальное папе. После этого папа откусил $13$ -ую часть от полученного и отдал остаток маме. Далее мама снова откусила $13$ -ую часть, отдала остаток Ване и так далее (до бесконечности). Во сколько раз больше шоколада, чем Ваня, съели мама и папа вместе? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Не обязательно складывать бесконечные суммы. Сравните куски, которые откусывают трое подряд, и посмотрите, что происходит после целого круга. В модели делай укусы и следи за тарелками. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПлитка идёт по кругу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Плитка идёт по кругу

Как делится вся плитка между мамой, Ваней и папой?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми плитку в 2197 = 13³ долек и посчитай укусы первого круга: 169, 156, 144. Что останется маме после круга?

Подсказка 1

Пусть мама первым укусом съела $x$ Ване достаётся $\frac{12}{13}$ того, что было у мамы, и он откусывает $\frac{12}{13}x$ Сколько откусит папа?

Подсказка 2

После одного круга у мамы снова оказывается плитка, только уменьшенная в $\left(\frac{12}{13}\right)^3$ раз, и всё повторяется в том же масштабе. Значит, всё съеденное за все круги делится между мамой, Ваней и папой в том же отношении, что и в первом круге.

Разобрать решение по шагам

Первый круг

Пусть мама первым укусом съела $x = \frac{1}{13}$ плитки. Ване она отдаёт $\frac{12}{13}$ плитки, и Ваня откусывает $\frac{1}{13}$ этого, то есть $\frac{12}{13}x$ Папе остаётся $\left(\frac{12}{13}\right)^2$ плитки, он откусывает $\left(\frac{12}{13}\right)^2 x$ . Куски первого круга относятся как

x : \frac{12}{13}x : \frac{144}{169}x = 169 : 156 : 144.

Каждый круг — уменьшенная копия первого

После папы у мамы оказывается $\left(\frac{12}{13}\right)^3$ плитки, и дальше всё происходит так же, как с целой плиткой, только все куски в $q = \left(\frac{12}{13}\right)^3$ раз меньше. Поэтому во втором круге куски тоже относятся как $169 : 156 : 144$ в третьем — так же, и так далее.

Значит, и всё съеденное мамой, Ваней и папой — суммы этих кусков по всем кругам — относится как $169 : 156 : 144$ (Суммы конечны: это геометрические прогрессии со знаменателем $q < 1$ Вся плитка съедается: мама съела $\frac{169}{469}$ Ваня — $\frac{156}{469}$ папа — $\frac{144}{469}$ плитки.)

Отношение

Мама и папа вместе съели $169 + 144 = 313$ частей, Ваня — $156$ частей:

\frac{313}{156} = 2{,}00641\ldots \approx 2{,}006.

Проверка

Проверка суммами: мама ест $x(1 + q + q^2 + \ldots) = \frac{x}{1 - q}$ , Ваня — $\frac{12}{13} \cdot \frac{x}{1 - q}$ , папа — $\left(\frac{12}{13}\right)^2 \frac{x}{1 - q}$ ; отношение $\frac{1 + (12/13)^2}{12/13} = \frac{313}{156}$ . Модель и тест проделывают $3000$ укусов с точными долями — отношение совпадает с $\frac{313}{156}$ Другие версии (с другим порядком и вопросом): ID 3637: $\frac{85}{42} \approx 2{,}024$ ; ID 3638: $\frac{276}{121} \approx 2{,}281$ ; ID 3639: $\frac{351}{196} \approx 1{,}791$ .

Ответ

$\frac{313}{156} \approx 2{,}006$ .

Ответ

$\frac{313}{156} \approx 2{,}006$ .

Главная идея

Куски круга относятся как 1 : r : r², а каждый следующий круг — уменьшенная копия предыдущего, поэтому и всё съеденное делится в том же отношении.

Бесконечный повторяющийся процесс — ищем самоподобие: после цикла всё повторяется в уменьшенном масштабе.

Где легко ошибиться

Считать, что каждый съел треть; перепутать порядок (кто получает плитку вторым); округлить на промежуточном шаге.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 3626 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3637, 3638, 3639) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 1 попытка 2024», стр. 3 ↗: ID 3626: 2,006; ID 3637: 2,024; ID 3638: 2,281; ID 3639: 1,791.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Части и дроби
Геометрическая прогрессия (по желанию)

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →