Задача 7. Винни-Пух и друзья на одной дороге

Встреча в одной точке — равенство времён

Пусть $AB = 8$, $BC = 1$, тогда $AC = 9$. Скорости Пятачка, Тигры, Винни-Пуха и Кролика обозначим $p$, $t$, $w$, $k$. Домик Совы — на расстоянии $X$ от $A$, дупло с мёдом — на расстоянии $Y$.

Двое встретились в точке, если оба оказались там в один и тот же момент. Но две пары у домика Совы могли встретиться в разное время, поэтому для каждой пары пишем своё равенство. У домика Совы:

У дупла с мёдом то же с переставленными $p$ и $t$:

Исключаем точки встреч

Из первых двух равенств: $X\left(\frac1w - \frac1p\right) = \frac8w$ и $X\left(\frac1t + \frac1k\right) = \frac9k$. Делим одно на другое — $X$ сокращается:

Обозначим правую часть буквой $\lambda$. Из равенств для дупла точно так же:

Зачем скорости Пятачка и Тигры различны

Перепишем: $\frac1w - \frac1p = \lambda\left(\frac1t + \frac1k\right)$ и $\frac1w - \frac1t = \lambda\left(\frac1p + \frac1k\right)$. Вычтем второе из первого:

Скорости Пятачка и Тигры различны, значит, $\frac1t - \frac1p \ne 0$, и $\lambda = 1$:

В общем виде отношение скоростей Кролика и Винни-Пуха равно $\frac{AC}{AB}$. Если бы скорости Пятачка и Тигры совпадали, они шли бы рядом, обе встречи слились бы в одну точку (а домики по условию в разных местах), и отношение $\frac kw$ ничем бы не определялось.

Такие скорости бывают

При $\lambda = 1$ оба равенства сводятся к одному: $\frac1p + \frac1t = \frac1w - \frac1k$. Возьмём $w = 1$, $k = \frac98$: нужно $\frac1p + \frac1t = \frac19$, например $p = 12$, $t = 36$.

Тогда домик Совы при $X = \frac{8}{1 - 1/12} = \frac{96}{11}$, дупло при $Y = \frac{8}{1 - 1/36} = \frac{288}{35}$. Обе точки между $B$ и $C$ и различны. Проверка встреч Кролика: $\frac{X}{36} = \frac{8}{33} = \frac{9 - X}{9/8}$ и $\frac{Y}{12} = \frac{24}{35} = \frac{9 - Y}{9/8}$. Ответ: $1{,}125$.