Задача 10. Прямоугольные треугольники в 30-угольнике

Прямоугольный треугольник — это диаметр

Все вершины правильного многоугольника лежат на описанной окружности. Вписанный угол прямой тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр. Поэтому треугольник с вершинами в вершинах $30$-угольника прямоугольный ровно тогда, когда две его вершины противоположны (концы одного из $15$ диаметров); третья вершина — любая другая.

Чёрные фишки стоят в соседних вершинах, поэтому они не противоположны, и напротив каждой чёрной фишки стоит белая.

Прямой угол при чёрной фишке

Гипотенуза — диаметр, оба конца которого белые. Из $15$ диаметров не годятся два: через первую и через вторую чёрную фишку. Остаётся $13$ диаметров, и для каждой из двух чёрных фишек получается $13$ треугольников:

Чёрная фишка на конце гипотенузы

Тогда гипотенуза — диаметр от чёрной фишки до противоположной (белой) вершины. Вершину прямого угла можно взять в любой из остальных белых фишек: $28 - 1 = 27$ способов. Для двух чёрных фишек:

Итог

Каждый подходящий треугольник попадает ровно в один случай: прямой угол либо при чёрной фишке, либо при белой. Всего

В общем виде для правильного $n$-угольника ($n$ чётно) с соседними чёрными фишками: $2\left(\frac n2 - 2\right) + 2(n - 3) = 3n - 10$.

Слово «соседних» важно только тем, что фишки не противоположны: при любом другом непротивоположном расположении ответ тот же. Если бы чёрные фишки стояли на концах одного диаметра, второго случая не было бы вовсе, а в первом годились бы $14$ диаметров: $2 \cdot 14 = 28$.