Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Дана треугольная пирамида $SABC$ Известно, что ортогональные проекции ребер $SA$ $SB$ $SC$ на плоскость $ABC$ имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра $SC$ на плоскость $SAB$ и ортогональная проекция ребра $SB$ на плоскость $SAC$ Найдите отношение $AB : AC$ если известно, что оно не равно $1$ а $\sin \angle SAB = \frac{10}{\sqrt{149}}$ .

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Что говорят равные проекции рёбер на основание о самих рёбрах? Проекция ребра $SC$ на грань $SAB$ — это катет прямоугольного треугольника; какой его второй катет? В модели меняй углы пирамиды и следи за двумя проекциями. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбираем пирамиду

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбираем пирамиду

При каком угле SAC проекции рёбер на грани станут равными, и каким тогда будет AB : AC?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй на одной плоскости два равнобедренных треугольника ASB и ASC с общей боковой стороной SA так, чтобы углы при S в сумме дали 180°. Какой получился угол BAC и чему равно AB : AC?

Подсказка 1

Пусть $H$ — основание высоты пирамиды. Тогда $SA^2 = SH^2 + HA^2$ и так же для $SB$ $SC$ равные проекции $HA = HB = HC$ дают $SA = SB = SC$ Проекция $SC$ на плоскость $SAB$ равна $\sqrt{SC^2 - d^2}$ где $d$ — расстояние от $C$ до этой плоскости.

Подсказка 2

Значит, расстояния от $C$ до плоскости $SAB$ и от $B$ до плоскости $SAC$ равны. Посчитайте объём пирамиды двумя способами — получатся равные площади граней $SAB$ и $SAC$ Что тогда можно сказать об углах $ASB$ и $ASC$

Разобрать решение по шагам

Боковые рёбра равны

Пусть $H$ — основание высоты $SH$ Проекции рёбер $SA$ $SB$ $SC$ на плоскость $ABC$ — это отрезки $HA$ $HB$ $HC$ По теореме Пифагора $SA^2 = SH^2 + HA^2$ $SB^2 = SH^2 + HB^2$ $SC^2 = SH^2 + HC^2$ Проекции равны, поэтому

SA = SB = SC = l.

Равные проекции на грани — равные расстояния

Точка $S$ лежит в плоскости $SAB$ поэтому проекция ребра $SC$ на эту плоскость — отрезок $SC_1$ где $C_1$ — основание перпендикуляра из $C$ Треугольник $SC_1C$ прямоугольный:

SC_1 = \sqrt{SC^2 - CC_1^2}.

Точно так же проекция $SB$ на плоскость $SAC$ равна $\sqrt{SB^2 - BB_1^2}$ Так как $SB = SC$ и проекции равны, $CC_1 = BB_1$ точка $C$ удалена от плоскости $SAB$ так же, как точка $B$ — от плоскости $SAC$

Объём даёт равные площади

Объём пирамиды можно считать от любой грани:

V = \tfrac13 \, S_{SAB} \cdot CC_1 = \tfrac13 \, S_{SAC} \cdot BB_1.

Высоты $CC_1$ и $BB_1$ равны, значит, $S_{SAB} = S_{SAC}$

Углы при вершине S в сумме 180°

Грани $SAB$ и $SAC$ — равнобедренные треугольники с боковыми сторонами $l$

\tfrac12 l^2 \sin\angle ASB = \tfrac12 l^2 \sin\angle ASC, \qquad \sin\angle ASB = \sin\angle ASC.

Если бы углы были равны, то были бы равны и основания: $AB = AC$ а по условию $AB : AC \ne 1$ Значит, $\angle ASB + \angle ASC = 180^\circ$ .

Развёртка: прямоугольный треугольник

Повернём грань $SAC$ вокруг ребра $SA$ в плоскость $SAB$ на другую сторону от $SA$ вершина $C$ перейдёт в точку $C'$ Углы $ASB$ и $ASC'$ в сумме дают $180^\circ$ поэтому $B$ $S$ $C'$ лежат на одной прямой, и $S$ — середина $BC'$ ( $SB = SC' = l$ ).

В треугольнике $ABC'$ медиана $AS$ равна половине стороны $BC'$ поэтому $\angle BAC' = 90^\circ$ Угол $ABS$ равен $\alpha = \angle SAB$ (треугольник $ASB$ равнобедренный), и

\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{AC'} = \operatorname{ctg}\alpha.

Угол $\alpha$ — угол при основании равнобедренного треугольника, он острый: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{100}{149}} = \frac{7}{\sqrt{149}}$ , и

AB : AC = \operatorname{ctg}\alpha = \frac{7}{10} = 0{,}7.

Версия ID 3631, развёртка граней SAB и SAC: углы при S дают в сумме 180°, поэтому B, S, C′ на одной прямой, SA — медиана, равная половине BC′, и угол A прямой. AB : AC = ctg α = 7 : 10.

Проверка

Такие пирамиды есть, и их много. Углы при вершине $S$ равны $\angle ASB = 180^\circ - 2\alpha$ , $\angle ASC = 2\alpha$ а третий угол $\angle BSC$ можно взять любым между $|180^\circ - 4\alpha|$ и $180^\circ$ (для ID 3631 это примерно от $40^\circ$ до $180^\circ$ ): трёхгранный угол с такими плоскими углами существует. Модель строит пирамиду по $\angle SAC$ и $\angle BSC$ и измеряет обе проекции: они равны только при $\angle SAC = 90^\circ - \alpha$ (и при $\angle SAC = \alpha$ когда $AB = AC$ что исключено). Другие версии: ID 3652: $\sin\alpha = \frac{8}{\sqrt{73}}$ , $\operatorname{ctg}\alpha = \frac38 = 0{,}375$ ; ID 3653: $\frac{4}{\sqrt{41}}$ $\frac54 = 1{,}25$ ID 3654: $\frac{5}{\sqrt{146}}$ $\frac{11}{5} = 2{,}2$

Ответ

$0{,}7$

Ответ

$0{,}7$

Главная идея

Равные проекции — равные рёбра и равные расстояния до граней; объём даёт равные площади, и при AB ≠ AC углы при S в сумме 180°. В развёртке получается прямоугольный треугольник: AB : AC = ctg ∠SAB.

Проекция отрезка на плоскость — катет прямоугольного треугольника; равные расстояния до граней — объём двумя способами; равные синусы при неравных углах — углы дополняют друг друга до 180°.

Где легко ошибиться

Решить, что из sin ∠ASB = sin ∠ASC следует равенство углов; не использовать условие AB : AC ≠ 1; взять тупой угол α.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 3631 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3652, 3653, 3654) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 1 попытка 2024», стр. 10 ↗: ID 3631: 0,7; ID 3652: 0,375; ID 3653: 1,25; ID 3654: 2,2.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Расстояния и пути на поверхности →

Тема, знания и приёмы

Расстояния и пути на поверхности · Начальный вход

Ортогональная проекция
Объём пирамиды
Площадь треугольника через синус угла
Медиана прямоугольного треугольника

Приёмы решения: Развёртка поверхности · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →