Задача 9. Встречи на реке

Обозначения и места встреч

Примем $XY = 1$ и скорость плота (то есть течения) за $1$. Скорости относительно берега: катамаран $c$, лодка $d$ (вниз по течению), катер $6$ (вверх), плот $1$; пусть $X\Pi = a$. Через время $t$ они находятся на расстояниях $ct$, $dt$, $a + t$ и $1 - 6t$ от $X$. Чтобы догнать плот, лодке и катамарану нужна скорость больше $1$.

Лодка догоняет плот, когда $dt = a + t$: в момент $\frac{a}{d - 1}$, в точке $\frac{da}{d - 1}$. Катамаран встречает катер, когда $ct = 1 - 6t$: в точке $\frac{c}{c + 6}$. Так же катамаран с плотом — в точке $\frac{ca}{c - 1}$, лодка с катером — в точке $\frac{d}{d + 6}$.

Два условия

Разделим первое на второе и избавимся от знаменателей: $d^2(c - 1)(c + 6) = c^2(d - 1)(d + 6)$. После раскрытия скобок и группировки

Почему c ≠ d

Если $c = d$, лодка и катамаран всё время идут рядом и встречают плот в одном месте — а по условию эти места различны. Значит, $5cd = 6(c + d)$, или, если разделить на $6cd$,

Положение пристани

Перемножим два условия: $a^2 \cdot \frac{cd}{(c - 1)(d - 1)} = \frac{cd}{(c + 6)(d + 6)}$, то есть

Из $5cd = 6(c + d)$: $(c + 6)(d + 6) = cd + 6(c + d) + 36 = 6cd + 36$ и $(c - 1)(d - 1) = cd - (c + d) + 1 = \frac{cd}6 + 1 = \frac{cd + 6}6$. Поэтому $a^2 = \frac{1}{36}$, $a = \frac16$.

Ответ и пример

$X\Pi = \frac16$, $\Pi Y = \frac56$, отношение $X\Pi : \Pi Y = 1 : 5 = 0{,}2$.

Такое движение возможно: например, $c = 2$, $d = 3$ ($\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1$). Лодка с плотом и катамаран с катером встречаются в точке $\frac14$, катамаран с плотом и лодка с катером — в точке $\frac13$, все встречи между $X$ и $Y$.