Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Для положительных чисел $x$ и $y$ с суммой $7$ Петя выписал на доску числа $\dfrac{x^2 + y^2}{x + y}$ $\dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ , $\dfrac{x^4 + y^4}{x^3 + y^3}$ . Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Какое наибольшее значение может принимать сумма $x^2 + y^2$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Все выражения симметричны относительно $x$ и $y$ Попробуй выразить их через $x + y$ и $xy$ Что даёт условие прогрессии? В модели подбирай $x$ и сравнивай промежутки между числами. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри числа на оси

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три числа на оси

При каких x числа Пети образуют арифметическую прогрессию?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми x = 2, y = 5 и x = 3, y = 4, посчитай три числа Пети и разности соседних. Какая разность больше? Что будет при x = y?

Подсказка 1

Числа $a$ $b$ $c$ образуют арифметическую прогрессию ровно тогда, когда $2b = a + c$ Обозначь $u = x + y = 7$ $v = xy$ тогда $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$ $x^3 + y^3 = u^3 - 3uv$ $x^4 + y^4 = u^4 - 4u^2 v + 2v^2$ .

Подсказка 2

Умножь равенство $2A_2 = A_1 + A_3$ на произведение знаменателей (оно положительно) и упрости. Должно получиться $uv\,(u^2 - 4v)^2 = 0$ Что это значит для $x$ и $y$

Разобрать решение по шагам

Условие прогрессии

Обозначим $A_1 = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$ , $A_2 = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ , $A_3 = \frac{x^4 + y^4}{x^3 + y^3}$ . Три числа образуют арифметическую прогрессию ровно тогда, когда средний член — среднее арифметическое крайних:

2A_2 = A_1 + A_3.

Симметричные многочлены

Пусть $u = x + y = 7$ $v = xy > 0$ Тогда

x^2 + y^2 = u^2 - 2v, \qquad x^3 + y^3 = u^3 - 3uv, \qquad x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2v^2 = u^4 - 4u^2 v + 2v^2.

Условие принимает вид

\frac{2(u^3 - 3uv)}{u^2 - 2v} = \frac{u^2 - 2v}{u} + \frac{u^4 - 4u^2 v + 2v^2}{u^3 - 3uv}.

Упрощение

Все знаменатели положительны ( $u = x + y$ $u^2 - 2v = x^2 + y^2$ $u^3 - 3uv = x^3 + y^3$ ). Умножим на $u(u^2 - 2v)(u^3 - 3uv)$

2u(u^3 - 3uv)^2 = (u^2 - 2v)^2(u^3 - 3uv) + u(u^2 - 2v)(u^4 - 4u^2 v + 2v^2).

Раскроем скобки: слева $2u^7 - 12u^5 v + 18u^3 v^2$ , справа $2u^7 - 13u^5 v + 26u^3 v^2 - 16uv^3$ . Разность:

u^5 v - 8u^3 v^2 + 16uv^3 = uv\,(u^2 - 4v)^2 = 0.

Единственное значение

Так как $u > 0$ и $v > 0$ получаем $u^2 = 4v$ то есть $(x - y)^2 = u^2 - 4v = 0$ и $x = y = 3{,}5$ Тогда все три числа равны $3{,}5$ — это прогрессия с разностью $0$ условие выполнено.

x^2 + y^2 = 2 \cdot 3{,}5^2 = 24{,}5.

Других возможных значений нет, поэтому наибольшее — $24{,}5$

Проверка

Проверка тождества при $u = 7$ $v = 10$ ( $x = 2$ $y = 5$ ): левая часть $247\,646$ правая $241\,976$ разность $5\,670 = 7 \cdot 10 \cdot (49 - 40)^2$ . Числа Пети при $x = 2$ $y = 5$ $\tfrac{29}{7} \approx 4{,}14$ , $\tfrac{133}{29} \approx 4{,}59$ , $\tfrac{641}{133} \approx 4{,}82$ — промежутки $0{,}443$ и $0{,}233$ не равны. Тест модели проверяет, что $2A_2 - A_1 - A_3 > 0$ при всех $x \ne y$ Другие официальные версии: сумма $9$ — $40{,}5$ $11$ — $60{,}5$ $13$ — $84{,}5$

Ответ

$24{,}5$

Ответ

$24{,}5$

Главная идея

Перейти к u = x + y и v = xy: условие 2A₂ = A₁ + A₃ сводится к uv(u² − 4v)² = 0, откуда x = y.

Симметричные выражения от двух переменных с известной суммой — замена на x + y и xy.

Где легко ошибиться

Ошибиться в формуле для x⁴ + y⁴; разделить на (u² − 4v) и потерять решение; решить, что «наибольшее» требует перебора нескольких значений.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 3585 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3609, 3610, 3611) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 8 ↗: ID 3585: 24,5; ID 3609: 40,5; ID 3610: 60,5; ID 3611: 84,5.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Начальный вход

Арифметическая прогрессия: 2b = a + c
Выражение x² + y², x³ + y³, x⁴ + y⁴ через x + y и xy

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →