Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$ с центром в точке $O$ причём радиус $\Omega$ больше радиуса $\omega$ На луче с началом в точке $O$ пересекающем окружность $\Omega$ в точке $A$ отмечена точка $B$ такая, что $OB > OA$ На окружности $\omega$ выбраны точки $K$ и $M$ таким образом, что прямые $AM$ и $BK$ касаются этой окружности. Прямая $BL$ касается окружности $\Omega$ в точке $L$ Найдите наибольшую возможную длину $BL$ если $AM = 20$ $BK = 29$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Радиусы окружностей не даны. Проведи радиусы в точки касания — какие треугольники получатся? Зависит ли $BL$ от радиусов? В модели меняй радиус $\omega$ и проверяй догадку о длине $BL$ Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДве окружности и касательные

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Две окружности и касательные

Как меняется длина BL, если менять радиус ω?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй две концентрические окружности с радиусами 15 и 25, отметь A на большей и B на том же луче так, чтобы касательная из B к меньшей была 29. Измерь касательную из B к большей. Повтори с радиусом 5.

Подсказка 1

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной. Треугольники $OMA$ $OKB$ $OLB$ прямоугольные. Обозначь радиусы $R$ и $r$ и запиши для каждого теорему Пифагора.

Подсказка 2

$AM^2 = R^2 - r^2$ $BK^2 = OB^2 - r^2$ $BL^2 = OB^2 - R^2$ Вычти первое равенство из второго.

Разобрать решение по шагам

Три прямоугольных треугольника

Пусть радиусы $\Omega$ и $\omega$ равны $R$ и $r$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники $OMA$ $OKB$ и $OLB$ прямоугольные с прямыми углами при $M$ $K$ $L$ По теореме Пифагора ( $OA = R$ $OM = OK = r$ $OL = R$ ):

AM^2 = R^2 - r^2, \qquad BK^2 = OB^2 - r^2, \qquad BL^2 = OB^2 - R^2.

При r = 15: R = 25, OB = √1066 ≈ 32,6. Касательные AM = 20, BK = 29 и BL = 21.

Радиусы сокращаются

Вычтем первое равенство из второго:

BK^2 - AM^2 = OB^2 - R^2 = BL^2.

Значит, $BL^2 = 29^2 - 20^2 = 841 - 400 = 441$ , $BL = 21$

Почему «наибольшая возможная»

Длина $BL$ не зависит от радиусов: при любом $r > 0$ фигура строится ( $R = \sqrt{r^2 + 400}$ $OB = \sqrt{r^2 + 841} > R$ ), и всегда $BL = 21$ Все возможные значения $BL$ совпадают, поэтому наибольшее из них — $21$ Например, при $r = 15$ $R = 25$ $OB = \sqrt{1066}$ (рисунок).

Проверка

При $r = 15$ $R^2 = 225 + 400 = 625$ $OB^2 = 225 + 841 = 1066$ $BL^2 = 1066 - 625 = 441$ Тест модели строит фигуру для радиусов $\omega$ от $0{,}5$ до $200$ проверяет касание (прямые углы), длины $AM$ и $BK$ и получает одно и то же $BL$ Другие официальные версии: $\sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ $\sqrt{26^2 - 24^2} = 10$ $\sqrt{41^2 - 9^2} = 40$

Ответ

$21$

Ответ

$21$

Главная идея

Радиусы в точки касания дают три прямоугольных треугольника; из теорем Пифагора BL² = BK² − AM², радиусы сокращаются.

Касательные к концентрическим окружностям из точек одного луча — теорема Пифагора с радиусами в точки касания.

Где легко ошибиться

Искать радиусы (их нельзя найти); решить, что BL зависит от радиусов, и искать максимум; сложить квадраты вместо вычитания.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 3581 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3597, 3598, 3599) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 4 ↗: ID 3581: 21; ID 3597: 15; ID 3598: 10; ID 3599: 40.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Нужна школьная база

Касательная перпендикулярна радиусу
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →