Задача 1. Наименьший множитель до степени

Разложим число на простые множители

$3\,930\,400 = 39\,304 \cdot 100$, а $39\,304 = 34^3 = 2^3 \cdot 17^3$. Поэтому

Равенство $Nx = y^z$ означает, что в разложении $Nx$ каждый простой множитель входит в степени, кратной $z$ (у $y^z$ все показатели — показатели $y$, умноженные на $z$; и наоборот, если все показатели делятся на $z$, число — $z$-я степень).

Какой x нужен для каждого z

Лишние простые множители в $x$ только увеличивают его, поэтому наименьший $x$ состоит из двоек, пятёрок и семнадцатых: $x = 2^\alpha 5^\beta 17^\gamma$, и числа $5 + \alpha$, $2 + \beta$, $3 + \gamma$ должны делиться на $z$. Каждый показатель поднимаем до ближайшего кратного $z$.

$z = 2$: $5 \to 6$, $2 \to 2$, $3 \to 4$ — нужен $x = 2 \cdot 17 = 34$.

$z = 3$: $5 \to 6$, $2 \to 3$, $3 \to 3$ — нужен $x = 2 \cdot 5 = 10$.

$z \geqslant 4$: показатель пятёрки $2 + \beta$ должен быть хотя бы $z \geqslant 4$, то есть $\beta \geqslant 2$ и $x \geqslant 5^2 = 25$.

Наименьший x и соответствующий y

Любой подходящий $x$ при $z = 2$ делится на $34$, при $z = 3$ — на $10$, при $z \geqslant 4$ — на $25$. Значит, наименьший $x = 10$, и он годится только для куба:

Показатели $6, 3, 3$ имеют наибольший общий делитель $3$, поэтому при $x = 10$ других представлений $y^z$ с $z \geqslant 2$ нет: $z = 3$, $y = 340$.