Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Из пункта $A$ в пункт $C$ по прямолинейной железной дороге с постоянной скоростью $60$ км/ч движется поезд. В точке $B$ расположенной на расстоянии $2$ км от железной дороги и на расстоянии $3$ км от точки $A$ находится мотоциклист. С какой минимальной постоянной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы догнать поезд, если известно, что угол $BAC$ острый? Ответ дайте в км/ч.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Пусть мотоциклист встречает поезд в точке $X$ дороги. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы оказаться в $X$ одновременно с поездом? Какое $X$ выгоднее всего? В модели выбирай место встречи и запускай движение. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПоезд и мотоциклист

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Поезд и мотоциклист

Где встретить поезд, чтобы хватило самой маленькой скорости?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй дорогу и точку B. Для нескольких точек X на дороге посчитай AX, BX и 60·BX/AX. При каком X это число меньше всего? Какой там угол ABX?

Подсказка 1

Мотоциклисту выгодно ехать по прямой к месту встречи $X$ Поезд проходит $AX$ за время $\frac{AX}{60}$ за то же время мотоциклист проезжает $BX$ нужна скорость $v = 60 \cdot \frac{BX}{AX}$ . Найди наименьшее отношение $\frac{BX}{AX}$

Подсказка 2

По теореме синусов в треугольнике $ABX$ $\frac{BX}{AX} = \frac{\sin \angle A}{\sin \angle ABX}$ . Угол $A$ задан. Когда знаменатель наибольший? $\sin \angle A$ найди из прямоугольного треугольника с катетом $2$ и гипотенузой $3$

Разобрать решение по шагам

Скорость для встречи в точке X

Пусть мотоциклист встречает поезд в точке $X$ на луче $AC$ $AX = s$ Поезд приходит туда через время $\frac{s}{60}$ ч. Чтобы оказаться в $X$ к этому моменту, мотоциклисту с постоянной скоростью $v$ нужно проехать хотя бы $BX$ (прямая — кратчайший путь), то есть

v \geqslant 60 \cdot \frac{BX}{AX}.

И наоборот, при $v = 60 \cdot \frac{BX}{AX}$ , едучи по прямой к $X$ он встретит поезд. Значит, ответ — наименьшее значение $60 \cdot \frac{BX}{AX}$ по всем точкам $X$

Теорема синусов

Обозначим $\alpha = \angle BAC$ В треугольнике $ABX$ по теореме синусов $\frac{BX}{\sin \alpha} = \frac{AX}{\sin \angle ABX}$ , поэтому

\frac{BX}{AX} = \frac{\sin \alpha}{\sin \angle ABX} \geqslant \sin \alpha,

и равенство — когда $\angle ABX = 90^\circ$ Такая точка $X$ на луче $AC$ есть, потому что угол $\alpha$ острый: перпендикуляр к $AB$ в точке $B$ пересекает луч $AC$ на расстоянии $AX = \frac{AB}{\cos \alpha}$ .

Самое выгодное место встречи X — там, где ∠ABX = 90°: тогда BX : AX = sin α = 2/3.

Наименьшая скорость

Расстояние от $B$ до дороги — катет $2$ прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB = 3$ и углом $\alpha$ поэтому $\sin \alpha = \frac23$ Наименьшая скорость

v = 60 \cdot \frac23 = 40 \text{ км/ч}.

Встреча — в точке $X$ где $\cos \alpha = \frac{\sqrt5}3$ , $AX = \frac{3}{\cos\alpha} = \frac9{\sqrt5} \approx 4{,}02$ км, $BX = \frac6{\sqrt5} \approx 2{,}68$ км, через $\frac{AX}{60}$ ч $\approx 4$ мин.

Проверка

$BX^2 = AX^2 - AB^2 = \tfrac{81}5 - 9 = \tfrac{36}5$ , $BX = \tfrac6{\sqrt5}$ время $\tfrac{9}{60\sqrt5}$ ч, скорость $\tfrac6{\sqrt5} : \tfrac9{60\sqrt5} = 40$ км/ч. Тест модели перебирает места встречи с шагом $1$ м и не находит точки, где хватило бы меньшей скорости. В общем виде $v_{\min} = u \cdot \frac{h}{a}$ ; другие официальные версии: $49 \cdot \tfrac57 = 35$ $70 \cdot \tfrac35 = 42$ $84 \cdot \tfrac46 = 56$ км/ч.

Ответ

$40$ км/ч.

Ответ

$40$ км/ч.

Главная идея

Нужная скорость равна u·BX/AX; по теореме синусов это u·sin α / sin∠ABX, минимум — при ∠ABX = 90°: v = u·sin α.

«Минимальная скорость, чтобы перехватить» — выбрать точку встречи и минимизировать отношение путей; часто помогает теорема синусов или квадратный трёхчлен.

Где легко ошибиться

Ехать к ближайшей точке дороги (перпендикуляр из B) — это не оптимально; взять отношение 2 : 3 к другой стороне; забыть, что угол A острый и точка X существует.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 3583 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3603, 3604, 3605) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 6 ↗: ID 3583: 40; ID 3603: 35; ID 3604: 42; ID 3605: 56.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Начальный вход

Теорема синусов
Синус и косинус острого угла

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →