Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

В арифметической прогрессии, состоящей из $11$ членов, сумма квадратов первых пяти членов на $0{,}75$ больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

У прогрессии из $11$ членов есть средний — шестой член. Удобно записать все члены через него и разность. Как связаны квадраты двух членов, стоящих симметрично относительно середины? В модели задай прогрессию и подбери разность под условие. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКвадраты членов прогрессии

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Квадраты членов прогрессии

Зависит ли ответ от того, какую прогрессию с нужным условием взять?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми прогрессию 1; 2; …; 11 и посчитай, на сколько сумма квадратов последних пяти членов больше суммы квадратов первых пяти. Сравни с суммой разностей (6 + j)² − (6 − j)².

Подсказка 1

Пусть $a$ — шестой (средний) член, $d$ — разность. Тогда члены прогрессии — $a - 5d, \ldots, a - d, a, a + d, \ldots, a + 5d$ . Разбей суммы на пары симметричных членов $a - jd$ и $a + jd$

Подсказка 2

$(a - jd)^2 - (a + jd)^2 = -4ajd$ . Условие даёт $-4ad(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 0{,}75$ , то есть известно произведение $ad$ Какие пары входят в суммы первых и последних четырёх членов?

Разобрать решение по шагам

Запишем члены через средний

Пусть $a$ — шестой член прогрессии, $d$ — её разность. Тогда первые пять членов — $a - 5d$ $a - 4d$ $a - 3d$ $a - 2d$ $a - d$ а последние пять — $a + d$ …, $a + 5d$ Член $a - jd$ из начала и $a + jd$ из конца стоят симметрично относительно середины.

Разность квадратов симметричных членов

(a - jd)^2 - (a + jd)^2 = -4ajd.

Разность сумм квадратов первых пяти и последних пяти членов — сумма таких разностей для $j = 1, 2, 3, 4, 5$

-4ad\,(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = -60ad = 0{,}75, \qquad ad = -\frac1{80}.

Первые и последние четыре члена

Первые четыре члена — $a - 5d, \ldots, a - 2d$ последние четыре — $a + 2d, \ldots, a + 5d$ это пары с $j = 2, 3, 4, 5$ Поэтому искомая разность

-4ad\,(2 + 3 + 4 + 5) = -56ad = \frac{56}{80} = 0{,}7.

Сами $a$ и $d$ найти нельзя, но ответ зависит только от произведения $ad$ Такая прогрессия существует: например, $a = 1$ $d = -\tfrac1{80}$

Проверка

Прогрессия $a = 1$ $d = -\tfrac1{80}$ первые пять членов $1{,}0625; 1{,}05; 1{,}0375; 1{,}025; 1{,}0125$ , последние пять $0{,}9875; \ldots; 0{,}9375$ . Разность сумм квадратов пяти пар равна $0{,}75$ четырёх пар — $0{,}7$ (тест модели проверяет это для нескольких пар $a$ $d$ с тем же $ad$ во всех версиях). В общем виде для $n = 2p + 1$ членов ответ равен $D \cdot \frac{T - 1}{T}$ где $T = 1 + 2 + \ldots + p$ Другие официальные версии: $13$ членов, $2{,}1$ — $T = 21$ ответ $2{,}1 \cdot \tfrac{20}{21} = 2$ ; $15$ членов, $\tfrac73$ — $T = 28$ ответ $\tfrac73 \cdot \tfrac{27}{28} = 2{,}25$ ; $17$ членов, $\tfrac97$ — $T = 36$ ответ $\tfrac97 \cdot \tfrac{35}{36} = 1{,}25$ .

Ответ

$0{,}7$

Ответ

$0{,}7$

Главная идея

Записать члены через средний: квадраты симметричных членов отличаются на −4ajd, и обе разности сумм выражаются через одно произведение ad.

Прогрессия с нечётным числом членов и симметричные суммы — отсчитывать члены от среднего.

Где легко ошибиться

Пытаться найти a и d по отдельности; взять для четырёх членов пары j = 1, …, 4 вместо крайних j = 2, …, 5; ошибиться в знаке.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 3580 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3594, 3595, 3596) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 3 ↗: ID 3580: 0,7; ID 3594: 2; ID 3595: 2,25; ID 3596: 1,25.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Арифметическая прогрессия
Разность квадратов

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →