Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Найдите количество всех пар натуральных чисел $(x;\,y)$ при которых является верным равенство $x^2 + x + 5y = 1\,000\,002$ .

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

При каждом $x$ число $y$ находится однозначно. Когда оно натуральное? Посмотри на остатки при делении на $5$ и на то, насколько большим может быть $x$ В модели проверяй разные $x$ Ниже можно сверить ответ — количество пар.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбор x

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбор x

Какие x дают натуральное y?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Выпиши x = 1, 2, …, 10, посчитай x² + x и последнюю цифру числа 1 000 002 − x² − x. Когда она 0 или 5?

Подсказка 1

$y = \dfrac{1\,000\,002 - x(x + 1)}{5}$ . Нужно, чтобы числитель делился на $5$ и был положительным. Остаток $x(x + 1)$ при делении на $5$ зависит только от остатка $x$

Подсказка 2

$1\,000\,002$ даёт остаток $2$ Переберите остатки $x$ $0, 1, 2, 3, 4$ Положительность: $x(x + 1) \leqslant 999\,997$ . Найди наибольшее такое $x$ и посчитай числа с нужными остатками.

Разобрать решение по шагам

y определяется по x

Равенство даёт $5y = 1\,000\,002 - x(x + 1)$ . Для каждого натурального $x$ число $y$ единственно, и пара подходит, когда

1\,000\,002 - x(x + 1) \text{ делится на } 5 \quad\text{и}\quad 1\,000\,002 - x(x + 1) \geqslant 5.

Значит, пар столько же, сколько подходящих $x$

Делимость на 5

Остаток $x(x + 1)$ при делении на $5$ зависит только от остатка $x$

остаток $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
остаток $x(x+1)$	$0$	$2$	$1$	$2$	$0$

Число $1\,000\,002$ даёт остаток $2$ поэтому разность делится на $5$ ровно при $x$ дающих остаток $1$ или $3$

Ограничение сверху

$y \geqslant 1$ означает $x(x + 1) \leqslant 999\,997$ . Так как $999 \cdot 1000 = 999\,000 \leqslant 999\,997$ , а $1000 \cdot 1001 = 1\,001\,000$ больше, подходят $x \leqslant 999$ (а $x(x + 1)$ растёт с $x$ ).

Подсчёт

Среди чисел $1, 2, \ldots, 999$ остаток $1$ дают $1, 6, \ldots, 996$ — их $200$ остаток $3$ дают $3, 8, \ldots, 998$ — тоже $200$ Всего $400$ пар.

Проверка

Например, $x = 1$ $y = \tfrac{1\,000\,000}{5} = 200\,000$ ; $x = 998$ $y = \tfrac{1\,000\,002 - 997\,002}{5} = 600$ ; $x = 996$ $y = \tfrac{6\,990}{5} = 1\,398$ . Прямой перебор всех $x$ даёт $400$ (тест модели проверяет перебором все версии и ещё сотни других правых частей). Другие официальные версии: $2\,000\,002$ — $x \leqslant 1413$ пар $283 + 283 = 566$ $3\,000\,002$ — $x \leqslant 1731$ пар $347 + 346 = 693$ $4\,000\,002$ — $x \leqslant 1999$ пар $400 + 400 = 800$

Ответ

$400$

Ответ

$400$

Главная идея

y определяется по x; делимость на 5 оставляет x с остатками 1 и 3, положительность y ограничивает x ⩽ 999.

Уравнение с одной переменной в первой степени при коэффициенте 5 — остатки по модулю 5 и оценка сверху.

Где легко ошибиться

Забыть условие y ⩾ 1 (взять x ⩽ 1000); посчитать только остаток 1; считать 0 натуральным.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 3584 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3606, 3607, 3608) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 7 ↗: ID 3584: 400; ID 3606: 566; ID 3607: 693; ID 3608: 800.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Уравнения в целых числах →

Тема, знания и приёмы

Уравнения в целых числах · Нужна школьная база

Остатки при делении
Оценка корня квадратного уравнения

Приёмы решения: Сравнение остатков · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →