Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

В вершинах правильного $50$ -угольника разместили $1$ чёрную и $49$ белых фишек. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности. Когда треугольник, вписанный в окружность, прямоугольный? Где может быть прямой угол — при чёрной фишке или при белой? В модели находи прямоугольные треугольники в маленьком многоугольнике. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеФишки на многоугольнике

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Фишки на многоугольнике

Что общего у всех прямоугольных треугольников с вершинами в вершинах многоугольника?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй правильный восьмиугольник, отметь чёрную вершину и найди все прямоугольные треугольники с ней. Проведи у каждого гипотенузу — через какую точку она проходит?

Подсказка 1

Опиши окружность около многоугольника. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол прямой ровно тогда, когда противолежащая сторона — диаметр. У правильного $50$ -угольника диаметры соединяют противоположные вершины, их $25$

Подсказка 2

Два случая. Прямой угол при чёрной фишке: гипотенуза — диаметр с двумя белыми концами. Прямой угол при белой фишке: гипотенуза — диаметр, проходящий через чёрную вершину, а третья вершина — любая из оставшихся.

Разобрать решение по шагам

Гипотенуза — диаметр

Вершины правильного $50$ -угольника лежат на описанной окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол треугольника прямой ровно тогда, когда противолежащая сторона — диаметр. Концы диаметра — противоположные вершины многоугольника (вершины $i$ и $i + 25$ ); диаметров $25$

Значит, тройка вершин образует прямоугольный треугольник ровно тогда, когда среди них есть две противоположные. Две такие пары в тройке быть не могут (тогда вершин было бы четыре), поэтому прямой угол у треугольника один.

Прямой угол при чёрной фишке

Тогда гипотенуза — диаметр, не проходящий через чёрную вершину; оба его конца белые. Таких диаметров $25 - 1 = 24$ и каждый вместе с чёрной вершиной даёт ровно один треугольник: $24$ способа.

Чёрная фишка на гипотенузе

Тогда гипотенуза — диаметр из чёрной вершины в противоположную (там белая фишка), а третья вершина — любая из остальных $50 - 2 = 48$ вершин (все белые): $48$ способов.

Случаи не пересекаются (прямой угол один), поэтому всего $24 + 48 = 72$ способа.

На двенадцатиугольнике: слева прямой угол при чёрной фишке (5 способов), справа чёрная фишка на гипотенузе (10 способов) — всего 15 = 3·12/2 − 3.

Проверка

В общем виде для правильного $n$ -угольника с чётным $n$ $\left(\tfrac n2 - 1\right) + (n - 2) = \tfrac{3n}2 - 3$ . Для $n = 12$ это $15$ — столько же даёт перебор всех $55$ пар белых фишек (модель позволяет найти их вручную). Тест модели перебирает все пары белых фишек для $n$ от $4$ до $64$ и проверяет признак прямого угла через вписанные углы. Другие официальные версии: $54$ -угольник — $26 + 52 = 78$ $60$ -угольник — $29 + 58 = 87$ $64$ -угольник — $31 + 62 = 93$

Ответ

$72$

Ответ

$72$

Главная идея

Вписанный треугольник прямоугольный ⇔ одна из его сторон — диаметр; разбираем, где прямой угол: при чёрной фишке (24) или при белой (48).

Прямоугольные треугольники с вершинами в вершинах правильного многоугольника — гипотенуза является диаметром описанной окружности.

Где легко ошибиться

Учесть только один из двух случаев; посчитать в случае 2 и противоположную чёрной вершину третьей вершиной; считать упорядоченные тройки.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 10, версия с ID 3587 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3615, 3616, 3617) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 11 ↗: ID 3587: 72; ID 3615: 78; ID 3616: 87; ID 3617: 93.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Вписанный угол
Правильный многоугольник и описанная окружность
Правило суммы

Приёмы решения: Разбор случаев · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →