Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Трапеция $ABCD$ основание $AD$ которой вдвое больше основания $BC$ вписана в окружность $\omega$ Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $CD$ пересекает вторично окружность $\omega$ в точке $P$ а сторону $AD$ — в точке $N$ Найдите периметр трапеции $ABCD$ если известно, что $BN = 4$ $PN = 9$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Какой четырёхугольник образуют точки $B$ $C$ $D$ $N$ Где на $AD$ лежит точка $N$ Отрезки $AD$ и $BP$ — хорды одной окружности. В модели подбирай $BC$ и смотри на длину $NP$ Ниже можно сверить ответ — периметр.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВписанная трапеция

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Вписанная трапеция

При каком BC отрезок NP будет как в условии?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй равнобокую трапецию с основаниями 3 и 6 и боковыми сторонами 4, опиши около неё окружность и проведи через B прямую, параллельную CD. Где она пересечёт AD? Сравни AN · ND и BN · NP.

Подсказка 1

$BN \parallel CD$ и $BC \parallel ND$ поэтому $BCDN$ — параллелограмм: $CD = BN$ и $ND = BC$ Раз $AD = 2BC$ то $AN = ND = BC$ Обозначь $BC = x$

Подсказка 2

Хорды $AD$ и $BP$ пересекаются в точке $N$ $AN \cdot ND = BN \cdot NP$ . Найди $x$ Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобокая: $AB = CD$

Разобрать решение по шагам

Параллелограмм BCDN

По условию $BN \parallel CD$ а $BC \parallel ND$ как основания трапеции. Значит, $BCDN$ — параллелограмм, и

CD = BN = 4, \qquad ND = BC.

Обозначим $BC = x$ Тогда $AD = 2x$ $ND = x$ и $AN = AD - ND = x$ точка $N$ — середина $AD$

Пересекающиеся хорды

Хорды $AD$ и $BP$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $N$ поэтому произведения их отрезков равны:

AN \cdot ND = BN \cdot NP, \qquad x \cdot x = 4 \cdot 9 = 36, \qquad x = 6.

BCDN — параллелограмм, N — середина AD. Хорды AD и BP пересекаются в N: AN · ND = BN · NP.

Периметр

Трапеция, вписанная в окружность, равнобокая (дуги между параллельными хордами равны), поэтому $AB = CD = 4$ Основания: $BC = 6$ $AD = 12$

P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 4 + 6 + 4 + 12 = 26.

Такая трапеция существует

У равнобокой трапеции с основаниями $x$ и $2x$ проекция боковой стороны на основание равна $\frac{2x - x}{2} = \frac x2$ , и она должна быть меньше самой боковой стороны: $BN > \frac x2$ С $x = \sqrt{BN \cdot NP}$ это условие равносильно $4 \cdot BN > NP$

Здесь $16 > 9$ высота трапеции $\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt 7$ , всё построение существует (см. рисунок). В трёх других официальных версиях условие нарушено: $BN = 5$ $PN = 20$ — равенство $4 \cdot 5 = 20$ трапеция вырождается в отрезок; $BN = 3$ $PN = 27$ и $BN = 4$ $PN = 25$ — трапеции нет. Организаторы для них принимали формальное значение $2 \cdot BN + 3\sqrt{BN \cdot PN}$ ( $40$ $33$ $38$ ), « $-1$ » и «нет решений».

Проверка

Построение для найденных чисел: $A(-6;\,0)$ $D(6;\,0)$ $B(-3;\,\sqrt7)$ $C(3;\,\sqrt7)$ — равнобокая трапеция с боковыми сторонами $4$ Центр описанной окружности $(0;\,-\tfrac{10}{\sqrt7})$ ; прямая через $B$ параллельно $CD$ проходит через $N(0;\,0)$ и второй раз пересекает окружность на расстоянии $9$ от $N$ (тест модели строит фигуру и измеряет $NP$ ). Для версий ID 3591–3593 тест проверяет, что $4 \cdot BN \leqslant PN$ и трапеция не строится.

Ответ

$26$

Ответ

$26$

Главная идея

BCDN — параллелограмм, поэтому N — середина AD и AN = ND = BC; пересекающиеся хорды AD и BP дают BC² = BN · NP.

Прямая через вершину параллельно боковой стороне отсекает параллелограмм; две хорды через одну точку — теорема о пересекающихся хордах.

Где легко ошибиться

Не заметить, что N — середина AD; забыть, что вписанная трапеция равнобокая; не проверить, что трапеция с найденными длинами существует.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 3579 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3591, 3592, 3593) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора; уточнение ниже («Решения М10 1 попытка 2024», стр. 2 ↗: ID 3579: 26; ID 3591: 40 или −1; ID 3592: 33 или −1; ID 3593: 38 или −1 (если конструкция не существует, принимаются также «−1» и «нет решений»).). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Для версий ID 3591–3593 трапеции с такими данными нет (в ID 3591 она вырождается в отрезок): числа 40, 33, 38 — формальные значения 2·BN + 3√(BN·PN), организатор принимал их наравне с «−1» и «нет решений». Разобранная на странице версия ID 3579 существует, ответ 26.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Нужна школьная база

Свойства параллелограмма
Теорема о пересекающихся хордах
Вписанная трапеция равнобокая

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →