Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №9

Условие

Антон написал дробь из натуральных чисел; сумма числителя и знаменателя равна $2025$ а дробь меньше $1/3$ Найдите наибольшую такую дробь. В ответ запишите её числитель.

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: задача 9
Сложность Popov Academy: 3/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравни дроби с числителями $500$ и $501$ Как при этом изменяется знаменатель?

Подсказка 2

Десятичные значения помогают найти границу. Для точной проверки сравни знаменатель с утроенным числителем при $506$ и $507$

Разобрать решение по шагам

Находим границу на числах

При числителе $500$ знаменатель равен $2025-500=1525$ Если увеличить числитель на $1$ знаменатель уменьшится на $1$ Посмотрим на несколько дробей. Десятичные значения в таблице округлены: они помогают увидеть границу, но точную проверку проведём отдельно.

Дробь	Приближённое значение	Сравнение с $\frac13$
$\frac{500}{1525}$	0,3279	меньше
$\frac{501}{1524}$	0,3287	меньше
$\frac{502}{1523}$	0,3296	меньше
$\frac{503}{1522}$	0,3305	меньше
$\frac{504}{1521}$	0,3314	меньше
$\frac{505}{1520}$	0,3322	меньше
$\frac{506}{1519}$	0,3331	меньше
$\frac{507}{1518}$	0,3340	больше

Почему дроби возрастают

При увеличении числителя и прежнем знаменателе дробь стала бы больше. Уменьшение положительного знаменателя увеличивает её ещё раз. Поэтому при фиксированной сумме $2025$ большему числителю соответствует большая дробь. Остаётся точно проверить переход между $506$ и $507$

Проверяем два соседних значения точно

Для числителя $506$ знаменатель равен $2025-506=1519$ Утроенный числитель равен $506·3=1518$ на $1$ меньше знаменателя. Поэтому

\frac{506}{1519}<\frac13.

Для $507$ получаем $2025-507=1518$ а $507·3=1521$ на $3$ больше знаменателя:

\frac{507}{1518}>\frac13.

Дальше дроби только возрастают. Значит, наибольшая подходящая дробь — первая из этих двух, а требуемый числитель равен $506$

Ответ

$506$

Главная идея

Численные примеры показывают границу, а точное сравнение соседних дробей доказывает, где она проходит.

Как заметить эту идею в другой задаче

При заданной сумме числителя и знаменателя попробуй два соседних значения около границы и проверь строгость условия.

Возможная ошибка

Считать, что при увеличении числителя знаменатель остаётся прежним: их сумма всегда $2025$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 9 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Собственное решение: отдельная AI-проверка тем же исполнителем и сверка с официальным ответом организатора. Официального подробного решения нет; независимая экспертная и человеческая приёмка не проводились.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →