Пятиугольники на рисунке

Различаем пять направлений

На рисунке пять групп по три параллельных отрезка. Пронумеруем направления по кругу от $1$ до $5$. Пересекаются только соседние группы: $1$ и $2$, $2$ и $3$, $3$ и $4$, $4$ и $5$, $5$ и $1$. Поэтому при обходе пятиугольника каждый переход к следующей стороне — шаг к соседнему номеру.

Чтобы вернуться к началу за пять шагов, нужно обойти весь круг в одну сторону. Иначе пришлось бы сделать поровну шагов по кругу и обратно, а пять — нечётное число. Значит, каждый пятиугольник использует ровно по одной линии всех пяти направлений.

Выбираем по одной стороне

В каждой группе выбираем один из трёх отрезков. Соседние выбранные отрезки пересекаются, и эти пересечения становятся вершинами пятиугольника. Все пять выборов допустимы независимо: смена одной стороны не мешает четырём остальным. Модель позволяет проверить разные сочетания.

Открыть модель к этому разбору ↑

Считаем без повторений

Для первой стороны есть $3$ выбора, для первых двух $3·3=9$, для первых трёх $9·3=27$, затем $27·3=81$ и $81·3=243$. Разные наборы сторон дают разные пятиугольники; у каждого пятиугольника его пять сторон определяются однозначно. Значит, ответ $243$.