Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №6

Условие

Есть $27$ камней весом $1,2,…,27$ граммов. Их разложили в несколько кучек так, что в каждой кучке самый тяжёлый камень весит столько же, сколько все остальные камни в ней вместе. Сколько кучек могло получиться?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: задача 6
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

В каждой кучке главный камень составляет половину её массы. Какова общая масса всех главных камней?

Подсказка 2

Сумма масс восьми самых тяжёлых камней $20+21+…+27$ равна $188$ Хватит ли её, чтобы составить половину общей массы?

Разобрать решение по шагам

Считаем общую массу

Сложим крайние массы парами: $1+27=28$ $2+26=28$ и так далее до $13+15=28$ Есть $13$ пар и средний камень $14$ Всего $13·28+14=364+14=378$ г.

Почему кучек не меньше девяти

В каждой кучке самый тяжёлый камень равен всем остальным вместе, то есть составляет половину её массы. Поэтому сумма масс главных камней $378:2=189$ г. Даже восемь самых тяжёлых дают только $(20+27)+(21+26)+(22+25)+(23+24)=4·47=188$ г. Любые другие восемь дадут ещё меньше. Значит, главных камней, а вместе с ними и кучек, хотя бы девять.

Почему кучек не больше девяти

В кучке не может быть один камень: ему нечего уравновешивать. Двух тоже недостаточно: их массы должны были бы совпасть, а все массы различны. Значит, в каждой кучке хотя бы три камня. Из $27$ камней получится не больше $27:3=9$ кучек.

Проверяем раскладку

Обе границы совпали: кучек ровно $9$ В таблице показана возможная раскладка. Каждая масса от $1$ до $27$ встречается один раз, и в каждой строке сумма первых двух равна третьей.

Два меньших камня	Главный камень
$1+25$	$26$
$2+20$	$22$
$3+9$	$12$
$4+19$	$23$
$5+11$	$16$
$6+15$	$21$
$7+17$	$24$
$8+10$	$18$
$13+14$	$27$

Ответ

$9$ кучек.

Главная идея

Сумма половин всех кучек даёт общую массу главных камней; две противоположные границы определяют число кучек.

Как заметить эту идею в другой задаче

Возможная ошибка

Доказать только, что каждая кучка содержит не меньше трёх камней: это даёт верхнюю границу, но не исключает восемь кучек.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 6 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →