Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №1

Условие

Из шахматной доски вырезали угловую клетку, а затем разрезали её на прямоугольники одинаковой площади. Какое наименьшее количество прямоугольников получится?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: задача 1
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Два случая около вырезанной клетки

1. Горизонтальное продолжение

Выделена вся узкая полоса. Прямоугольник, примыкающий к выемке, может занимать её целиком или только часть. В любом случае его площадь не больше $7$

2. Вертикальное продолжение

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

После удаления клетки площадь равна $64-1=63$ Посмотри на внутренний угол выемки: насколько большим может быть прямоугольник рядом с ним?

Подсказка 2

Хотя бы один прямоугольник около выемки лежит в полосе шириной не более одной клетки. Его длина не больше семи клеток.

Разобрать решение по шагам

Смотрим на угол выемки

Повернём доску так, чтобы вырезанный угол оказался справа сверху. У оставшейся фигуры площадь $8·8-1=63$ Внутренний угол выемки должен разделиться на углы прямоугольников. Поэтому хотя бы одна сторона выемки продолжается внутрь доски границей прямоугольников. У этого угла внутри доски $270°$ его можно заполнить углами прямоугольников $90°+90°+90°$ или $90°+180°$ В обоих случаях хотя бы одна сторона выемки продолжается границей разреза.

Находим небольшой прямоугольник

Если горизонтальная сторона выемки продолжается влево, прямоугольник над этой границей имеет высоту не больше $1$ и ширину не больше $7$ Если вертикальная сторона продолжается вниз, прямоугольник справа имеет ширину не больше $1$ и высоту не больше $7$ В обоих случаях есть прямоугольник площадью не больше $7$ Все площади одинаковы, поэтому $63$ клетки нельзя разделить меньше чем на $63:7=9$ таких частей. Этот довод не требует резать по линиям клеток.

Открыть модель к этому разбору ↑

Показываем девять равных частей

Правую полосу $1×7$ оставим целой. Слева останется прямоугольник $7×8$ разделим его на восемь горизонтальных полос $7×1$ Получились $1+8=9$ прямоугольников, каждый площадью $7$

Синие горизонтальные полосы имеют размер

7×1

жёлтая вертикальная —

1×7

Правый верхний квадрат удалён.

Ответ

$9$ прямоугольников.

Главная идея

Равные площади позволяют получить нижнюю границу, найдя одну неизбежно небольшую часть около выемки.

Как заметить эту идею в другой задаче

Равные площади позволяют получить нижнюю границу, найдя одну неизбежно небольшую часть около выемки.

Возможная ошибка

Ограничиться подходящим разрезанием, не доказав, почему меньшее число частей невозможно.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 12 · задача 1 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →