Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №7

Условие

Королева загадала четырёхзначное число с разными ненулевыми цифрами. Труляля сказал: «Третья цифра не меньше трёх. Четвёртая делится на каждую из остальных». Траляля сказал: «Одна цифра равна сумме всех остальных. Третья цифра самая большая». Один из них оба раза солгал, другой оба раза сказал правду. Найдите наибольшее возможное число.

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: задача 7
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Может ли третья цифра быть наибольшей, но меньше трёх?

Подсказка 2

Если Траляля правдив, третья цифра — самая большая. Совместимо ли это с ложностью первого утверждения Труляля?

Разобрать решение по шагам

Определяем, кто говорит правду

Если правдив Траляля, третья цифра — самая большая из четырёх различных ненулевых. Тогда она не меньше $4$ (четыре разные положительные цифры начинаются с $1,2,3,4$ ). Но Труляля должен был солгать, сказав, что она не меньше $3$ значит, она меньше $3$ Это невозможно. Следовательно, правдив Труляля.

Ограничиваем последнюю цифру

Четвёртая цифра делится на три разные ненулевые цифры, стоящие раньше. Среди цифр от $1$ до $9$ три разных меньших делителя есть только у $6$ (это $1,2,3$ ) и у $8$ (это $1,2,4$ ). Случай с $6$ невозможен: $6=1+2+3$ так что первое высказывание Траляля было бы правдой, хотя он должен солгать оба раза. Остаётся последняя цифра $8$ и первые цифры $1,2,4$

Последняя цифра	Первые три цифры	Проверка слов лжеца
6	1, 2, 3	6 = 1 + 2 + 3; исключён
8	1, 2, 4	8 ≠ 1 + 2 + 4; допустим

Выбираем наибольший порядок

Третья цифра не меньше $3$ значит, из $1,2,4$ на третьем месте должна стоять $4$ Чтобы число было максимальным, впереди ставим $2$ затем $1$ Получаем $2148$ Проверяем вторую ложь Траляля: третья цифра $4$ не самая большая, потому что последняя равна $8$

Ответ

$2148$

Главная идея

Условия правдивости и лжи проверяем по каждому утверждению отдельно, затем максимизируем цифры.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если два говорящих противоположны по правдивости, попробуй сначала исключить один вариант.

Возможная ошибка

Считать ложным только одно из двух высказываний лжеца: по условию он солгал оба раза.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 7 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Собственное решение: отдельная AI-проверка тем же исполнителем и сверка с официальным ответом организатора. Официального подробного решения нет; независимая экспертная и человеческая приёмка не проводились.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →