Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №5

Условие

В клетки шахматной доски вписали числа так, что числа на любых двух соседних по стороне клетках отличаются ровно на $1$ Среди чисел есть $3$ и $17$ Найдите сумму чисел на главных диагоналях.

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: задача 5
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разность $17-3=14$ Сколько шагов по сторонам клеток нужно, чтобы пройти между самыми далёкими клетками доски?

Подсказка 2

Между противоположными углами 7 шагов по горизонтали и 7 по вертикали. Чтобы увеличить число на 14 за 14 шагов, каким должен быть каждый шаг?

Разобрать решение по шагам

Находим клетки с 3 и 17

От любой клетки до любой другой можно пройти не больше чем за $7+7=14$ шагов. На каждом шаге число меняется только на $1$ а от $3$ до $17$ нужно увеличение на $14$ Значит, нужен путь длиной ровно $14$ эти числа находятся в противоположных углах. Повернём доску так, чтобы $3$ было слева сверху.

Определяем все клетки

На пути из $14$ шагов ни один шаг не может уменьшать число: иначе общее увеличение будет меньше $14$ Через любую клетку можно провести такой кратчайший путь, двигаясь только вправо и вниз. Поэтому каждый шаг вправо или вниз увеличивает число на $1$ Получаем всю таблицу.

Любая клетка лежит на пути из левого верхнего угла в правый нижний, без шагов назад.

Складываем числа диагоналей

На диагонали из $3$ в $17$ стоят $3,5,7,9,11,13,15,17$ Попарно с концов: $(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=4·20=80$ . На другой диагонали каждая клетка отстоит от $3$ ровно на $7$ шагов, поэтому в ней число $3+7=10$ Сумма $8·10=80$ Общая сумма $80+80=160$ Доска имеет чётную сторону, поэтому общих клеток у диагоналей нет.

Ответ

$160$

Главная идея

Предельная разность чисел заставляет все шаги кратчайшего пути иметь одно направление изменения.

Как заметить эту идею в другой задаче

Предельная разность чисел заставляет все шаги кратчайшего пути иметь одно направление изменения.

Возможная ошибка

Предполагать возрастание вправо и вниз без доказательства: его вынуждает разность 14 между двумя клетками.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 12 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →