Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №7

Условие

Сколько решений имеет ребус $Ф·СУ+УС=СФУ$ где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные — разные, а числа не начинаются с нуля?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Отборочный этап
Комплект: задача 7
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Начни с разрядов: при умножении двузначного числа на цифру возможен перенос.

Подсказка 2

Например, при $Ф=2$ и $У=9$ произведение в единицах равно $18$ Какую цифру $С$ нужно прибавить, чтобы получить число с последней цифрой $9$

Разобрать решение по шагам

Проверяем единицы на примере

В единицах складываются $Ф·У$ и $С$ а последняя цифра должна быть $У$ Например, при $Ф=2$ $У=9$ произведение $2·9=18$ До ближайшего числа с последней цифрой $9$ не хватает $1$ $18+1=19$ Поэтому $С=1$ и в десятки переносится $1$

Завершаем проверку примера

В десятках получаем $2·1+9+1=12$ цифра десятков $2$ совпала с $Ф$ а перенесённая сотня $1$ совпала с $С$ Значит, $2·19+91=38+91=129$ — решение.

Перебираем все цифры тем же способом

Выбираем $Ф$ и $У$ от $1$ до $9$ ноль невозможен, поскольку каждая из этих цифр начинает одно из чисел. Для каждого произведения $Ф·У$ ищем единственную цифру $С$ от $0$ до $9$ после прибавления которой последняя цифра станет $У$ Нулевое $С$ и совпадающие буквы-цифры исключаем. Во втором столбце записаны все оставшиеся двузначные числа $СУ$ Затем проверяем исходное равенство; результат — в третьем столбце.

Цифра Ф	После проверки единиц: СУ	После полного равенства: СУ
1	нет	нет
2	91, 73, 64, 46, 37, 19	19
3	81, 62, 24, 86, 67, 48, 29	нет
4	71, 13, 26, 97, 68, 39	нет
5	61, 83, 27, 49	нет
6	51, 53, 57, 59	нет
7	41, 82, 23, 64, 46, 28, 69	28
8	31, 62, 93, 24, 17, 79	нет
9	21, 42, 63, 84, 26, 47, 68	26, 47, 68

Выписываем пять решений

2·19+91=129;\qquad 7·28+82=278.

9·26+62=296;\qquad 9·47+74=497;\qquad 9·68+86=698.

Все цифры в каждом решении различны. Таблица охватывает все девять возможных значений $Ф$ поэтому других решений нет.

Ответ

$5$ решений.

Главная идея

Запись по разрядам с переносами превращает ребус в конечную проверку цифр.

Как заметить эту идею в другой задаче

В цифровом ребусе выпиши единицы, десятки и переносы, затем перебирай допустимые цифры.

Возможная ошибка

Посчитать тройки с повторяющимися цифрами или с нулём в начале двузначного числа.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 11 · задача 7 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Собственное решение: отдельная AI-проверка тем же исполнителем и сверка с официальным ответом организатора. Официального подробного решения нет; независимая экспертная и человеческая приёмка не проводились.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →