Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №5

Условие

Квадрат $12×12$ разбили на квадратные части со сторонами $1$ и $2$ так, что частей одного размера вдвое больше, чем другого. Сколько всего частей могло получиться? Если вариантов несколько, найдите сумму получившихся чисел.

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Отборочный этап
Комплект: задача 5
Сложность Popov Academy: 3/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Два возможных разбиения

Жёлтые блоки разделены на единичные квадраты.

1. 72 части

$24$ больших и $48$ маленьких квадратов.

2. 48 частей

$32$ больших и $16$ маленьких квадратов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сколько маленьких клеток занимает квадрат со стороной $2$

Подсказка 2

Сгруппируй части: один большой квадрат и два маленьких. Какую площадь занимает одна такая группа? Затем поменяй размеры местами.

Разобрать решение по шагам

Маленьких частей вдвое больше

Объединим части в группы: один квадрат со стороной $2$ и два со стороной $1$ Площадь группы $4+1+1=6$ Площадь исходного квадрата $12·12=144$ поэтому групп $144:6=24$ а частей $24·3=72$

Больших частей вдвое больше

Теперь в группе два больших квадрата и один маленький. Площадь $4+4+1=9$ Получаем $144:9=16$ групп, в каждой по три части: $16·3=48$ частей.

Показываем оба разбиения

Разделим исходный квадрат на $6·6=36$ блоков $2×2$ Для первого случая $12$ блоков делим на четыре клетки: получаем $24$ больших и $12·4=48$ маленьких. Для второго делим $4$ блока: получаем $32$ больших и $4·4=16$ маленьких. Оба разбиения существуют, поэтому ответ $72+48=120$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$120$

Главная идея

Соотношение количеств подсказывает группу частей с известной площадью; затем нужно показать, что разбиение возможно.

Как заметить эту идею в другой задаче

При разбиении на квадраты разных размеров проверь не только площадь, но и укладку.

Возможная ошибка

Остановиться после первого соотношения «вдвое больше» и потерять второй случай.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Собственное решение: отдельная AI-проверка тем же исполнителем и сверка с официальным ответом организатора. Официального подробного решения нет; независимая экспертная и человеческая приёмка не проводились.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →