Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №10

Условие

В некоторые клетки таблицы $5×5$ записали числа так, что все суммы по строкам и столбцам попарно различны: получилось десять разных сумм. Какое наибольшее количество клеток могли остаться свободными?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Отборочный этап
Комплект: задача 10
Сложность Popov Academy: 5/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если строка и столбец пусты, их суммы совпадают. А что будет, если одна клетка — единственная занятая и в своей строке, и в своём столбце?

Подсказка 2

Проверь, могут ли пяти занятых клеток хватить на девять непустых строк и столбцов одновременно.

Разобрать решение по шагам

Почему четырёх клеток недостаточно

Строк и столбцов вместе $5+5=10$ будем называть их линиями. Одна занятая клетка входит в две линии. Четыре клетки могут сделать непустыми не больше $4·2=8$ линий. Останутся хотя бы две пустые линии с одинаковой суммой $0$

Почему пяти клеток тоже недостаточно

Пустой может быть не больше одной линии. Значит, при пяти занятых клетках непустых линий хотя бы $9$ На все линии приходится $5·2=10$ вхождений клеток. Поэтому лишь одна линия может содержать две клетки, а все остальные содержат по одной; либо все десять линий содержат по одной. В первом случае выберем любую из трёх клеток вне двойной линии; во втором — любую клетку. Она единственная и в своей строке, и в своём столбце, так что эти две суммы равны. Условие снова нарушено.

Расставляем шесть чисел

Схема даёт суммы строк $3,4,8,16,32$ и суммы столбцов $1,2,12,48,0$ Все десять чисел различны. Значит, шести занятых клеток достаточно, а свободных $25-6=19$

Пустая клетка не содержит числа. Сумма пустого столбца равна нулю.

Ответ

$19$ клеток.

Главная идея

Для наибольшего числа свободных клеток докажи минимальное число занятых и покажи расстановку.

Как заметить эту идею в другой задаче

Для наибольшего числа свободных клеток докажи минимальное число занятых и покажи расстановку.

Возможная ошибка

Показать одну удачную таблицу и не доказать, что занятых клеток нельзя сделать меньше.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 11 · задача 10 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →