Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №6

Условие

Четверо бельчат разделили $100$ орехов. Среди них ровно два лжеца и два рыцаря. Первый утверждает, что орехи разделили поровну. Второй: у всех разное количество, каждому хотя бы $20$ Третий: у каждого число орехов делится на $5$ Четвёртый: у всех разное количество, каждому не более $35$ Какое наибольшее количество орехов могло достаться одному?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Отборочный этап
Комплект: задача 6
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если первый сказал правду, сколько орехов получил каждый? Если он солгал, сколько правдивых фраз остаётся среди трёх других?

Подсказка 2

Могут ли одновременно быть правдой слова второго и третьего? Четыре разных количества, кратных 5 и не меньше 20, начинаются с 20, 25, 30, 35.

Разобрать решение по шагам

Проверяем равный раздел

При равном разделе каждый получил $100:4=25$ орехов. Первый и третий говорят правду, второй и четвёртый — ложь, поскольку количества одинаковы. Такой раздел возможен; пока наибольшее количество равно $25$

Проверяем неравный раздел

Если раздел неравный, первый лжёт. Значит, среди второго, третьего и четвёртого ровно два рыцаря. Второй и третий не могут оба говорить правду: тогда четыре количества различны, кратны $5$ и не меньше $20$ Даже самые маленькие дают $20+25+30+35=110$ больше имеющихся $100$

Получаем границу и достигаем её

Поэтому четвёртый обязательно говорит правду: каждому досталось не больше $35$ Проверим раздел $10,25,30,35$ сумма $10+25+30+35=100$ количества разные и все кратны $5$ первый и второй лгут, третий и четвёртый правдивы. Значит, $35$ достижимо.

Первый	Второй	Третий	Четвёртый
Ложь: не поровну	Ложь: есть 10	Правда: все кратны 5	Правда: разные и не больше 35

Ответ

$35$ орехов.

Главная идея

Сначала исключи невозможную пару правдивых фраз, затем проверь пример, достигающий найденной границы.

Как заметить эту идею в другой задаче

Сначала исключи невозможную пару правдивых фраз, затем проверь пример, достигающий найденной границы.

Возможная ошибка

Считать ложью каждую часть составного утверждения: достаточно, чтобы хотя бы одна его часть была неверна.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 11 · задача 6 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →