Задача 2.5. Счастливое дупло

Сначала ограничим расходы

Прибыль — это приз минус плата за желуди. За $33$ желудя Юлий платит $33\cdot3=99$ монет: после приза останется $1$ монета прибыли. За $34$ он заплатит $34\cdot3=102$ монеты — больше приза.

Значит, брать больше $33$ желудей бессмысленно. Но мало заплатить тоже недостаточно: надо ещё гарантировать сам приз.

Самый большой мешок, с которым можно проиграть

Попробуем собрать как можно больше желудей, но оставить Юлия без шести желудей одного цвета.

Если чёрных хотя бы $6$, проигрыш невозможен: дуб не забирает чёрные.

Если чёрных не больше $3$, дуб ничего не забирает. Для проигрыша красных должно быть не больше $5$ и жёлтых не больше $5$. В таком мешке не больше $3+5+5=13$ желудей.

Остаётся случай с $4$ или $5$ чёрными. Дуб забирает один цвет — в нём может быть до $20$ желудей. Другого цвета должно остаться не больше $5$, иначе будет приз. Поэтому проигрышный мешок содержит не больше

желудей. И такой мешок действительно существует: $20$ жёлтых, $5$ красных и $5$ чёрных. Дуб забирает жёлтые; остаётся по пять красных и чёрных.

Почему любое меньшее количество тоже не гарантирует приз

Для любого количества от $11$ до $30$ можно оставить в мешке по $5$ красных и чёрных желудей, а остальные взять жёлтыми. Жёлтых понадобится не больше $20$. Дуб заберёт их — и шести одинаковых снова не будет.

Для количества от $1$ до $10$ можно взять только красные и жёлтые, не больше пяти каждого цвета. Шести одинаковых нет уже с самого начала.

Значит, ни одно количество до $30$ включительно не даёт гарантии.

Остаются 31, 32 и 33

Мы доказали: в мешке, с которым можно проиграть, не больше $30$ желудей. Поэтому при $31$, $32$ или $33$ желудях приз будет при любых цветах и при любом выборе дуба.

Проверим прибыль для каждого ответа:

• $31$ жёлудь: $100-31\cdot3=7$ монет;
• $32$ желудя: $100-32\cdot3=4$ монеты;
• $33$ желудя: $100-33\cdot3=1$ монета.

Все три количества подходят.