Popov AcademyУсловие
В финале Чемпионата Цветочного города по арифметике встретились Знайка и Незнайка. Каждого из них попросили преобразовать (слева от знака равенства) выражение
в верное равенство.
а) Знайка убрал в выражении три цифры и несколько звездочек, каждую из оставшихся звездочек заменил знаком сложения или умножения, расставил скобки, получив тем самым верное равенство. Как он мог это сделать? Достаточно привести пример.
б) Незнайка цифры не убирал: одну звездочку заменил знаком вычитания, каждую из оставшихся звездочек – знаком сложения или умножения, расставил скобки и тоже получил верное равенство. Как он мог это сделать? Достаточно привести пример.
О задаче
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеСобери своё выражение
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Своя гипотеза
Собери своё выражение
Выбирай цифры, знаки и скобки кнопками. Получится ли у тебя 2025? Можно собрать свой пример для каждого пункта.
В конструкторе можно вычёркивать цифры, выбирать знаки и расставлять скобки. Для него нужен JavaScript. Без него оба примера доступны в ответе и пошаговом разборе.
В пунктах а) и б) разные правила. Начни с пункта а): можно ли получить как произведение, оставив последнюю цифру одним из множителей?
Здесь ответ — пример выражения. Собери свой вариант в разделе «Собери выражение сам»: полностью набирать его с клавиатуры не нужно.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Проверь . Получится , а это . Попробуй собрать два множителя из цифр, сохраняя их порядок.
Подсказка 2
Для пункта а) пригодятся суммы и . В пункте б) цифры , , нужно сохранить. Как поставить между ними плюс и минус, чтобы их вклад в сумму был равен нулю?
Разобрать решение по шагам
Пункт а): откуда взять множители
Цифра стоит последней. Попробуем оставить её отдельным множителем. Тогда перед ней нужно получить :
Замечаем, что
Значит, стоит поискать две группы цифр, каждая из которых даёт .
Пункт а): две суммы по 15
Такие группы уже стоят рядом:
Уберём цифры , , и звёздочки после них. Возьмём найденные суммы в скобки, а между скобками и перед девяткой поставим умножение. Получим выражение:
Проверим его значение по действиям:
Удалены ровно три цифры. Остальные идут в прежнем порядке; используются только сложение, умножение и скобки. Пункт а) решён.
Пункт б): зачем нужен ноль
Теперь решаем пункт б), в котором удалять цифры нельзя. Произведение из пункта а) уже равно . Значит, к нему можно прибавить ноль: результат не изменится.
Первые три цифры позволяют получить этот ноль:
Складываем две части: выражение и произведение остальных цифр. Соединяющий знак плюс стоит сразу после цифры :
На схеме ниже видно, что первая часть равна нулю, а вторая — . Поэтому вся сумма равна
Все девять цифр остались в исходном порядке. Минус ровно один, остальные звёздочки заменены плюсами и умножениями. Пункт б) решён.
Проверка
В пункте а) получены множители , и : их произведение равно . В пункте б) к тому же произведению прибавлено , то есть ноль. Поэтому значение не изменилось. В обоих пунктах соблюдены свои правила; свой другой пример можно проверить в модели ниже.
Пункт а). Удалить цифры , , и звёздочки после них. Один подходящий пример:
Пункт б). Сохранить все девять цифр и поставить ровно один минус:
Здесь , а произведение остальных цифр равно . Между этими двумя частями стоит плюс, поэтому получается .
Ответ
Пункт а). Удалить цифры , , и звёздочки после них. Один подходящий пример:
Пункт б). Сохранить все девять цифр и поставить ровно один минус:
Здесь , а произведение остальных цифр равно . Между этими двумя частями стоит плюс, поэтому получается .
Главная идея
Полезно идти от нужного результата: разложить его на удобные множители и собрать их из соседних цифр. Если найденное выражение уже даёт нужное число, прибавление нуля сохраняет результат — именно это помогает в пункте б).
Признак: «расставьте знаки так, чтобы получилось ». Разложение на множители подсказывает, какие группы цифр собирать.
Где легко ошибиться
Приписать к нашему произведению и получить . В пункте б) первые три цифры нужно сохранить так, чтобы они не изменили уже найденные : здесь помогает .
Источник и авторство
Турнир Архимеда · XXXIV Зимний турнир · 26 января 2025 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 1.2, 4+4 балла.
Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗
Условие и рисунок — из официального PDF. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.
Тема, знания и приёмы
Счёт и величины · Нужна школьная база
- Порядок действий и скобки
- Разложение числа на множители
Приёмы решения: Разложение на множители · Разделение пространства поиска