Зимний турнир Архимеда 2025 · 6–7 кл., №1.3

Условие

В сарае лежит кусок линолеума площадью $36$ м $^2$ (см. рис.). Мачеха отпустит Золушку на бал, если та разрежет исходный кусок не более чем на три части и из полученных частей настелит пол в квадратной комнате $6\text{ м}\times 6\text{ м}$ . Помогите Золушке раскроить кусок: нарисуйте, как разрезать и как потом настелить пол. Резать можно только по линиям сетки!

Рисунок к условию

О задаче

Олимпиада: Турнир Архимеда, XXXIV зимний турнир
Предмет / классы: Математика · 6–7 классы, единый вариант
Дата: 26 января 2025

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Сборка квадрата по шагам

Двигай ползунок или нажми «Пуск». Сначала оранжевая часть отъезжает в сторону и поворачивается на $180^\circ$ потом ложится в правый верхний угол, а в конце на своё место сдвигается зелёная часть. Следи: ни одна часть не переворачивается.

Ход сборки

Статичный режим

Модель загружается…

Все три детали сохраняют форму и размер. Оранжевая деталь поворачивается на 180°, зелёная сдвигается. На последнем кадре проверь: квадрат заполнен целиком, без наложений и пустых клеток.

На олимпиаде здесь нужен только рисунок. Перерисуй лесенку на клетчатую бумагу и попробуй: какая часть уже похожа на квадрат $6\times 6$ а что выступает за его границы?

Здесь ответ — рисунок. Попробуй найти разрез; сборку можно открыть отдельно, не раскрывая весь разбор.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравни лесенку с квадратом $6\times 6$ приложенным к её левому верхнему углу. Какие клетки лесенки торчат за квадрат, а каких клеток квадрату не хватает? Посчитай и те и другие.

Подсказка 2

Справа внизу отрежь ступенчатый кусок, начиная с четвёртого столбца: в его рядах $2, 3, 4, 5$ клеток. Если повернуть его на $180^\circ$ получатся ряды $5, 4, 3, 2$ выровненные по правому краю. Где в квадрате не хватает именно такого куска? И что потом останется незакрытым?

Разобрать решение по шагам

Сравним лесенку с квадратом

В рядах лесенки $1, 2, 3, \ldots, 8$ клеток, всего $1+2+\ldots+8=36$ клеток — как в квадрате $6\times 6$ Приложим квадрат к левому верхнему углу лесенки. Снизу за квадрат выходят два последних ряда — $7+8=15$ клеток. А внутри квадрата справа не хватает $5, 4, 3, 2, 1$ клеток в рядах с первого по пятый — тоже $15$ клеток.

Формы у лишнего и недостающего разные: снизу две длинные полосы, а справа сверху «ступеньки». Поэтому просто отрезать низ не получится — резать надо хитрее.

Кусок, который после поворота станет ступеньками

Недостающее место в первых четырёх рядах — ступеньки из $5, 4, 3, 2$ клеток, прижатые к правому краю. Повернём их мысленно на $180^\circ$ получатся ряды $2, 3, 4, 5$ прижатые к левому краю. Такой кусок в лесенке есть: в рядах с пятого по восьмой, начиная с четвёртого столбца, лежат ровно $2, 3, 4, 5$ клеток. Это часть $3$ (оранжевая).

Остальное делим так: часть $2$ (зелёная) — прямоугольник $2\times 3$ в левом нижнем углу, часть $1$ (голубая) — всё, что выше него. Все разрезы идут по линиям сетки.

Разрез по линиям сетки: часть

1

остаётся на месте, часть

2

— прямоугольник

2\times 3

часть

3

— ступенчатый кусок с рядами

2, 3, 4, 5

Складываем квадрат

Часть $1$ остаётся на месте. Оранжевую часть поворачиваем на $180^\circ$ и кладём в правый верхний угол квадрата: она закрывает ступеньки $5, 4, 3, 2$ Незакрытым остаётся прямоугольник $2\times 3$ справа в пятом и шестом рядах — туда сдвигаем зелёную часть.

Ни одну часть не переворачиваем изнанкой вверх — только сдвигаем и поворачиваем, как и нужно делать с линолеумом.

Сборка: часть

2

сдвинута, часть

3

повёрнута на

180^\circ

Получился квадрат

6\times 6

ни одна часть не перевёрнута.

Проверка

Проверим подсчётом клеток: часть $1$ — $1+2+3+4+3+3=16$ клеток, часть $2$ — $6$ клеток, часть $3$ — $2+3+4+5=14$ клеток; вместе $36$ В собранном квадрате каждый из шести рядов содержит ровно $6$ клеток: например, в первом ряду $1$ голубая и $5$ оранжевых, в пятом — $3$ голубых и $3$ зелёных.

Ответ

Один подходящий разрез и сборка показаны на рисунках. Часть $1$ остаётся на месте; часть $2$ (прямоугольник $2\times 3$ ) сдвигается; часть $3$ поворачивается на $180^\circ$ Получается квадрат $6\times 6$

Ответ

Разрез по линиям сетки: часть

1

остаётся на месте, часть

2

— прямоугольник

2\times 3

часть

3

— ступенчатый кусок с рядами

2, 3, 4, 5

Сборка: часть

2

сдвинута, часть

3

повёрнута на

180^\circ

Получился квадрат

6\times 6

ни одна часть не перевёрнута.

Главная идея

Наложи на фигуру нужный квадрат и сравни, что торчит наружу и чего не хватает. Если «лишний» кусок совпадает по форме с «дырой» после поворота, его достаточно отрезать и повернуть.

Признак: фигура и квадрат одной площади, разрешено мало частей. Ищи большую часть, которую можно оставить на месте, и сравни выступы с недостающими местами.

Где легко ошибиться

Перевернуть часть, как картинку в зеркале. Для линолеума так нельзя: он ляжет изнанкой вверх. Ещё ошибаются так: получают лишнюю, четвёртую часть или режут клетку не по линиям сетки.

Источник и авторство

Турнир Архимеда · XXXIV Зимний турнир · 26 января 2025 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 1.3, 6 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗

Условие и рисунок — из официального PDF. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Площадь фигуры на клетчатой бумаге
Поворот фигуры

Приёмы решения: Поворот плоскости

Задать вопрос по задаче →