Математика · 6–7 классы · Зимний турнир Архимеда 2025

Задача 2.3. Общая часть двух прямоугольников

Условие

Из четырех прямоугольников одинаковой площади составили квадрат (рис. 1) (три белых прямоугольника – одинаковы). Если совместить два разных прямоугольника, как показано на рис. 2, то площадь их общей части будет равна 108108 см2^2. Чему равна площадь общей части прямоугольников на рис. 3?

Рис. 1108Рис. 2?Рис. 3
Рисунок к условию
О задаче
Олимпиада
Турнир Архимеда, XXXIV зимний турнир
Предмет / классы
Математика · 6–7 классы, единый вариант
Дата
26 января 2025

Сначала разберись с формой прямоугольников: во сколько раз белая часть квадрата шире тёмной полосы? Потом посмотри, из каких сторон состоит общая часть на рис. 2 и на рис. 3.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Тёмный прямоугольник и белая часть квадрата одинаковой высоты, а площадь белой части втрое больше (там три прямоугольника той же площади). Значит, белая часть втрое шире тёмной полосы.

Подсказка 2

Возьми клетку такую, чтобы тёмная полоса имела ширину 33 клетки. Тогда квадрат — 12×1212\times 12 клеток, тёмный прямоугольник — 3×123\times 12, каждый белый — 9×49\times 4. Посчитай клетки в общих частях на рис. 2 и рис. 3.

Разобрать решение по шагам
1

Форма прямоугольников

Тёмный прямоугольник занимает всю высоту квадрата, и белая часть рядом с ним — тоже. Площадь белой части втрое больше: там три прямоугольника той же площади, что и тёмный. При одинаковой высоте это значит, что белая часть втрое шире.

Получается, ширина квадрата состоит из четырёх ширин тёмной полосы: три приходятся на белую часть, одна — на тёмную.

2

Удобная клетка

Чтобы делить высоту на три без дробей, выберем удобную клетку. Выберем клетку так, чтобы тёмная полоса имела ширину 33 клетки. Тогда сторона квадрата 4⋅3=124\cdot 3=12 клеток, тёмный прямоугольник — 3×123\times 12, белая часть — 9×129\times 12, а каждый белый прямоугольник — 9×49\times 4 (высота 1212 делится на три).

Проверим: площади 3⋅12=363\cdot 12=36 и 9⋅4=369\cdot 4=36 клеток одинаковы.

9344412
Квадрат на клетках: тёмная полоса 3×123\times 12, белые прямоугольники 9×49\times 4. Все четыре прямоугольника по 3636 клеток.
3

Рисунок 2: узнаём площадь клетки

На рис. 2 белый прямоугольник лежит, его длина 99 клеток, а тёмный тоже лежит, его высота 33 клетки. Оба прямоугольника начинаются от одного угла, поэтому общая часть берёт меньшую длину и меньшую высоту: длина 9<129<12, высота 3<43<4. Общая часть — прямоугольник 9×39\times 3, это 2727 клеток.

По условию это 108108 см2^2, значит, одна клетка — 108:27=4108:27=4 см2^2.

9 клеток39 × 3 = 27 клеток
Рисунок 2: голубым выделена общая часть. Её площадь по условию — 108108 см². На 2727 клеток приходится 108108 см², значит, одна клетка — 44 см².
4

Рисунок 3: ответ

На рис. 3 белый прямоугольник поставлен вертикально, его ширина 44 клетки. Высота тёмного по-прежнему 33 клетки. Снова берём меньшее из двух: по ширине 4<124<12, по высоте 3<93<9. Общая часть — прямоугольник 4×34\times 3, это 1212 клеток, то есть 12⋅4=4812\cdot 4=48 см2^2.

4 клетки34 × 3 = 12 клеток
Рисунок 3: голубым выделена общая часть. Теперь общих клеток 1212. Площадь одной по-прежнему 44 см², поэтому ответ 12⋅4=4812\cdot4=48 см².

Проверка

Найдём настоящие размеры. Клетка площадью 44 см2^2 — это квадратик 2×22\times 2 см. Тогда тёмный прямоугольник 6×246\times 24 см, белый 18×818\times 8 см: площади 144144 и 144144 см2^2 равны. Общая часть на рис. 2: 18⋅6=10818\cdot 6=108 см2^2 — как в условии. На рис. 3: 8⋅6=488\cdot 6=48 см2^2.

Ответ

4848 см2^2.

Ответ

4848 см2^2.

Главная идея

Сначала найди форму фигур, а потом выбери удобную единицу длины — клетку. С ней все размеры становятся целыми, и площади можно просто считать клетками.

Признак: фигуры с равными площадями, но без единой длины в условии. Выбери единицу так, чтобы все стороны стали целыми, и найди её размер из единственного данного числа.

Где легко ошибиться

Решить, что белый прямоугольник втрое уже квадрата по ширине. На самом деле втрое меньше его высота, а ширина белой части — три четверти стороны квадрата. Ещё ошибаются, считая, что общая часть на рис. 3 такая же, как на рис. 2: белый прямоугольник повернули, и его сторона на общей части стала короче.

Источник и авторство

Турнир Архимеда · XXXIV Зимний турнир · 26 января 2025 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 2.3, 6 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗

Условие и рисунок — из официального PDF. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Площади →
Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

  • Площадь прямоугольника
  • Деление на равные части

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок