Задача 2.2. Саранча в долине Лимпопо

Что остаётся после каждого года

Проценты каждый год считают от количества личинок в начале именно этого года. Например, из $100$ личинок после потери $60\%$ останется $40$. Значит, при любом начальном количестве такой год умножает его на $40/100=2/5$.

Получаем три вида множителей:

Удачный год — умножение на $2$.

Потеря $60\%$ — умножение на $2/5$.

Потеря $25\%$ — умножение на $3/4$.

За всё время осталось $100\%-73\%=27\%$ первоначального количества. Поэтому произведение всех годовых множителей должно равняться $27/100$. Порядок лет на это произведение не влияет.

Откуда взялись три тройки

Посмотрим на числитель итоговой дроби:

Тройку в числитель добавляет только год с потерей $25\%$: его множитель $3/4$. Каждый такой год добавляет одну тройку.

При сокращении тройки не исчезнут: ни в одном из годовых множителей в знаменателе нет тройки. Значит, лет с потерей $25\%$ было ровно три.

Откуда взялись две пятёрки

Теперь посмотрим на знаменатель:

Пятёрку в знаменатель добавляет только год с потерей $60\%$: его множитель $2/5$. Каждый такой год добавляет одну пятёрку.

Пятёрки тоже не сократятся: в числителях годовых множителей нет пятёрок. Значит, лет с потерей $60\%$ было ровно два.

Сколько было удачных лет

Мы уже нашли все неудачные годы. Три года с потерей $25\%$ дают множитель

Два года с потерей $60\%$ дают множитель

Вместе эти пять лет дают

Но по условию осталось $27/100$. Это в четыре раза больше, чем $27/400$. Значит, удачные годы должны увеличить количество в $4$ раза. Один удачный год удваивает его, а два дают $2\cdot2=4$. Поэтому удачных лет ровно два.

Всего

Другого числа лет быть не может: тройки определили число лет с потерей $25\%$, пятёрки — с потерей $60\%$, а недостающий множитель $4$ — число удачных лет.

Проверяем ответ на удобном примере

В условии начальное количество не дано. Для проверки возьмём $10\,000$ личинок: с этим числом все промежуточные количества будут целыми.

Расположим сначала два удачных года, затем два года с потерей $60\%$, потом три года с потерей $25\%$. Это один возможный порядок; перестановка годовых множителей не меняет итог. На схеме движемся только сверху вниз: каждая стрелка — один следующий год.