Зимний турнир Архимеда 2025

Скорость движения солдат на марше – $5$ км/ч. Каждые $4$ км пути остановка на отдых – привал. По уставу: первые три привала короткие – $10$ мин, четвертый привал продолжительный – $1$ час, затем опять – три привала коротких, один продолжительный и так далее. Полк отправился в путь в $4$ часа утра и добрался до места в полдень. Сколько километров прошёл полк?

В финале Чемпионата Цветочного города по арифметике встретились Знайка и Незнайка. Каждого из них попросили преобразовать (слева от знака равенства) выражение

в верное равенство.

а) Знайка убрал в выражении три цифры и несколько звездочек, каждую из оставшихся звездочек заменил знаком сложения или умножения, расставил скобки, получив тем самым верное равенство. Как он мог это сделать? Достаточно привести пример.

б) Незнайка цифры не убирал: одну звездочку заменил знаком вычитания, каждую из оставшихся звездочек – знаком сложения или умножения, расставил скобки и тоже получил верное равенство. Как он мог это сделать? Достаточно привести пример.

В сарае лежит кусок линолеума площадью $36$ м$^2$ (см. рис.). Мачеха отпустит Золушку на бал, если та разрежет исходный кусок не более чем на три части и из полученных частей настелит пол в квадратной комнате $6\text{ м}\times 6\text{ м}$. Помогите Золушке раскроить кусок: нарисуйте, как разрезать и как потом настелить пол. Резать можно только по линиям сетки!

Вася хотел написать на гранях кубика числа $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (на каждой грани по одному числу) в некотором порядке. Однако написал только пять из них, а вместо пропущенного числа написал целое число большее $6$. Оказалось, что на всех парах противоположных граней сумма одинакова, а на каких-то трех гранях сумма оказалась такой же, как на остальных трех гранях.

а) Приведите пример, как такое могло получиться.

б) Можно ли однозначно определить, какое число и вместо какого написал Вася?

Биологи установили, что в удачном году популяция личинок саранчи в долине реки Лимпопо увеличивается вдвое. В неудачном году популяция личинок саранчи уменьшается на $60\%$ или на $25\%$ (в зависимости от погодных условий). Оказалось, что за несколько лет подряд (удачных и неудачных) популяция личинок саранчи упала на $73\%$. За сколько лет это произошло?

Из четырех прямоугольников одинаковой площади составили квадрат (рис. 1) (три белых прямоугольника – одинаковы). Если совместить два разных прямоугольника, как показано на рис. 2, то площадь их общей части будет равна $108$ см$^2$. Чему равна площадь общей части прямоугольников на рис. 3?

К пещере Кощея Бессмертного подошел Иван-царевич. В пещере из-под земли бьют семь источников (пронумерованы от $1$ до $7$). Известно, что в источниках течет хорошая питьевая вода, но в каком-то одном источнике вода может оказаться мертвой (опасной для здоровья). Ивану требуется узнать, в каком именно. Заходить в пещеру можно только один раз. В его распоряжении три бутыли, в каждую из которых он может набрать воды из одного или нескольких источников, затем, выбравшись из пещеры, вылить воду на траву. Если в бутыли окажется хоть немного мертвой воды, то трава, политая такой водой, пожелтеет.

а) Как Ивану наполнять бутыли, чтобы, выбравшись из пещеры, он смог точно определить номер источника с мертвой водой, если такой есть?

б) Может ли Иван справиться с задачей, если у него будет только две бутыли? Ответ обоснуйте.

Конь Юлий (из мультсериала «Богатыри») играет с дубом в игру «Счастливое дупло». Играют так: в дупло дуба кладут желуди трех цветов ($20$ желтых, $20$ красных и $20$ черных). Конь Юлий с завязанными глазами достает из дупла и кладет в мешок несколько желудей, при этом за каждый взятый желудь платит $3$ золотые монеты. Дуб смотрит в мешок и если обнаруживает там хотя бы $4$ желудя черного цвета, то забирает оттуда все желуди одного из двух других цветов (красного или желтого). Если среди оставшихся у Юлия желудей найдется $6$ одного цвета, Дуб платит Юлию $100$ золотых монет. Посоветуйте Юлию, сколько желудей достать из дупла, чтобы гарантированно получить прибыль. Укажите все варианты.