Задача 2.4. Мёртвая вода в пещере Кощея

Сколько случаев надо различить

Мёртвая вода может быть в источнике $1$, $2$, …, $7$ — или её может не быть вовсе. Всего $8$ случаев, и после выхода из пещеры Иван должен понять, какой из них произошёл.

Каждому источнику нужен свой сигнал

Если мёртвая вода из какого-то источника попала только в первую бутыль, пожелтеет только первый участок травы. Если она попала в первую и вторую — пожелтеют два участка. Это разные сигналы, и Иван сможет их различить.

У трёх участков травы есть $2\cdot2\cdot2=8$ вариантов цвета: каждый может быть жёлтым или зелёным. Один вариант — вся трава зелёная — оставим для случая «мёртвой воды нет». Остаётся ровно семь сигналов для семи источников.

Пункт а): составим таблицу наполнения

Случаю «мёртвой воды нет» отдадим набор «ни одна трава не пожелтела». Остальные семь наборов раздадим источникам:

• источники $1$, $2$, $3$ — каждый только в свою бутыль: $1$-я, $2$-я, $3$-я;
• источник $4$ — в бутыли $1$ и $2$;
• источник $5$ — в бутыли $1$ и $3$;
• источник $6$ — в бутыли $2$ и $3$;
• источник $7$ — во все три бутыли.

Итак, в первую бутыль Иван набирает воду из источников $1, 4, 5, 7$, во вторую — из $2, 4, 6, 7$, в третью — из $3, 5, 6, 7$.

Прочитаем таблицу в обратную сторону

Представь, что пожелтела трава от второй и третьей бутылей, а от первой осталась зелёной. В таблице ищем источник, воду из которого налили во вторую и третью бутыли, но не в первую. Это источник $6$.

Так можно восстановить любой из семи источников: у каждого свой набор бутылей, и наборы не повторяются. Если все три участка остались зелёными, мёртвой воды нет: воду из каждого источника мы обязательно взяли хотя бы в одну бутыль.

Пункт б): почему двух бутылей недостаточно

У двух бутылей всего $2\cdot 2=4$ набора ответов: «да-да», «да-нет», «нет-да», «нет-нет». А случаев $8$. Как ни наливай воду, какие-то два разных случая дадут одинаковую картину на траве, и Иван их не различит. Даже если бы мёртвая вода точно была (случаев $7$), четырёх ответов всё равно мало.