Зимний турнир Архимеда 2025 · 6–7 кл., №2.1

Условие

Вася хотел написать на гранях кубика числа $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (на каждой грани по одному числу) в некотором порядке. Однако написал только пять из них, а вместо пропущенного числа написал целое число большее $6$ Оказалось, что на всех парах противоположных граней сумма одинакова, а на каких-то трех гранях сумма оказалась такой же, как на остальных трех гранях.

а) Приведите пример, как такое могло получиться.

б) Можно ли однозначно определить, какое число и вместо какого написал Вася?

О задаче

Олимпиада: Турнир Архимеда, XXXIV зимний турнир
Предмет / классы: Математика · 6–7 классы, единый вариант
Дата: 26 января 2025

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПосмотри на кубик со всех сторон

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Проверь свою идею

Посмотри на кубик со всех сторон

Открой две тройки из примера и проверь их суммы. Затем поверни кубик: у любой ли тройки видимых граней сумма равна 12?

На развёртке выше видны все грани. Противоположные пары: 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5. У каждой пары сумма 8. Тройки 7, 2, 3 и 1, 6, 5 дают по 12. У другой тройки, например 7, 2, 5, сумма 14, а у оставшихся — 10. Условие требует равенства для каких-то трёх граней, а не для любых.

Начни с пункта а): попробуй разложить числа на три пары с одинаковой суммой. Потом проверь второе условие — можно ли разделить все шесть чисел на две тройки с равными суммами.

В пункте а) нужен пример расположения чисел. В пункте б) — объяснение, почему замена определяется однозначно. Сначала попробуй выполнить оба пункта самостоятельно.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Всего у кубика три пары противоположных граней. Сложи суммы этих пар: получится сумма всех шести чисел. По другому условию эту общую сумму можно разделить на две равные целые части — значит, она чётная.

Подсказка 2

Общая сумма в каждой паре тоже чётная: три нечётных слагаемых дали бы нечётную общую сумму. Пара с новым числом даёт не меньше $7+1=8$ а пара без него — не больше $5+6=11$ Проверь две возможные суммы: $8$ и $10$

Разобрать решение по шагам

Пункт а): построим пример и проверим оба условия

Напишем $7$ вместо $4$ На кубике окажутся числа $1, 2, 3, 5, 6, 7$ Расположим их так, чтобы напротив друг друга стояли $1$ и $7$ $2$ и $6$ $3$ и $5$

У всех трёх пар одна сумма:

1+7=2+6=3+5=8.

Теперь проверим условие о тройках. Возьмём грани $7$ $2$ $3$ Остальные грани — $1$ $6$ $5$

7+2+3=12,

1+6+5=12.

Оба условия выполнены. На развёртке ниже видны все шесть граней; при складывании одинаковые цвета оказываются на противоположных гранях. В модели можно повернуть кубик и посмотреть с другой стороны.

Развёртка примера из пункта а). Сложи её мысленно: напротив окажутся

1

7

2

6

3

5

Все шесть чисел видны сразу.

Пункт б): почему сумма в каждой паре чётная

Пример уже есть. Но пункт б) требует большего: доказать, что Вася мог заменить число только таким способом.

Обозначим одинаковую сумму в каждой паре буквой $S$ Три пары содержат все грани кубика, поэтому сумма всех чисел равна $S+S+S$

По условию эту же общую сумму можно разделить на две равные целые части — суммы двух троек. Значит, общая сумма чётная.

Если бы $S$ была нечётной, три нечётных слагаемых дали бы нечётную сумму. Поэтому $S$ чётно.

У суммы в паре остаются два варианта

Новое число — целое и больше $6$ значит, не меньше $7$ Напротив него стоит число не меньше $1$ Поэтому сумма в этой паре не меньше $7+1=8$

В двух других парах нового числа нет: там только разные числа от $1$ до $6$ Даже два самых больших из них дают всего $5+6=11$ Значит, одинаковая сумма в паре не больше $11$

Чётных чисел от $8$ до $11$ только два: $8$ и $10$ Их и проверим.

Сумма 10 не позволяет составить три пары

Две пары обязательно состоят только из прежних чисел от $1$ до $6$ Но среди разных чисел этого набора сумму $10$ даёт только пара $4+6$

Вариант $5+5$ не подходит: пятёрка была одна, а новое число больше $6$ Вторую пару из прежних чисел составить нельзя. Значит, сумма в паре равна $8$

Сумма 8 определяет, что именно заменили

Из разных чисел от $1$ до $6$ сумму $8$ дают ровно две пары:

2+6=8,\qquad 3+5=8.

Эти четыре числа заняли две пары. Из первоначального набора остались $1$ и $4$ одно Вася пропустил, а другое стоит напротив нового числа.

Если напротив нового числа стоит $4$ то новое число тоже равно $8-4=4$ Это противоречит условию «больше $6$ ».

Значит, напротив нового числа стоит $1$ Тогда новое число равно $8-1=7$ а пропущенное — $4$ Других вариантов нет.

Проверка

В примере использованы пять исходных чисел — $1, 2, 3, 5, 6$ — и одно новое число $7>6$ Противоположные пары дают по $8$ а указанные две тройки — по $12$ Сумма всех чисел равна $24$ это и $3\cdot8$ и $2\cdot12$

Для пункта б) мы проверили все возможные общие суммы пар: $10$ невозможна, а $8$ приводит только к замене $4$ на $7$ Значит, пример есть и замена определяется однозначно.

Ответ

а) Например, пары противоположных граней $1$ и $7$ $2$ и $6$ $3$ и $5$ тогда $7+2+3=1+6+5=12$ б) Да: Вася написал $7$ вместо $4$

Ответ

а) Например, пары противоположных граней $1$ и $7$ $2$ и $6$ $3$ и $5$ тогда $7+2+3=1+6+5=12$ б) Да: Вася написал $7$ вместо $4$

Главная идея

Посчитай сумму всех чисел по трём парам и по двум равным тройкам. Это даёт чётность суммы в паре. Затем оцени эту сумму: остаются всего два варианта.

Когда одни и те же числа разбиты на группы с равными суммами, полезно сложить все группы. Так можно узнать чётность общей суммы и исключить лишние варианты.

Где легко ошибиться

Проверить только три пары и забыть про две тройки. Например, пары $2+7$ $3+6$ $4+5$ дают по $9$ Но общая сумма $27$ нечётная: разделить её на две равные целые суммы нельзя. Такой пример условию не подходит.

Источник и авторство

Турнир Архимеда · XXXIV Зимний турнир · 26 января 2025 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 2.1, 6 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗

Условие и рисунок — из официального PDF. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Чётность →

Тема, знания и приёмы

Чётность · Начальный вход

Чётные и нечётные числа
Оценка суммы сверху и снизу

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →