ПВГ 2025/26 · Математика · 7–8 кл., №3

Условие

В исходном варианте напечатано равенство

26!=\overline{4032941611266056355abcd0000}.

Буквы $a$ $b$ $c$ $d$ обозначают четыре отдельные десятичные цифры; они могут совпадать. Требуется определить эти цифры. Здесь $26!$ означает произведение $1\cdot2\cdot3\cdots26$ Черта над правой частью обозначает запись одного десятичного числа, а не произведение его цифр. Запись справа рассматривается именно в напечатанном виде.

О задаче · 7–8 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Покори Воробьёвы горы!
Предмет / класс: Математика · 7–8 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 3

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7–8 классы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посчитайте множители $5$ в $26!$ и сравните с количеством двоек. Сколько нулей должно быть на конце?

Подсказка 2

Для оставшихся цифр используйте делимость на $9$ и $11$ Затем проверьте полученного кандидата: чётно ли $26!/10^6$

Разобрать решение по шагам

Найдём число нулей на конце

Ноль на конце возникает из множителя $10=2\cdot5$ Считаем пятёрки в произведении от $1$ до $26$ числа $5$ $10$ $15$ $20$ $25$ дают по одной, а $25=5^2$ — ещё одну. Всего шесть пятёрок.

Двоек больше: уже $13$ чётных множителей дают хотя бы $13$ двоек. Поэтому в $26!$ ровно шесть завершающих нулей.

Справа четыре нуля напечатаны, значит, ещё два должны стоять на местах $c$ и $d$

c=0,\qquad d=0.

Применим признак делимости на 9

Факториал $26!$ делится на $9$ поскольку среди его множителей есть $9$ Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда на $9$ делится сумма его цифр.

Сумма напечатанных цифр до букв равна $69$ После найденных $c=d=0$ требуется, чтобы $69+a+b$ делилось на $9$

Поскольку $0\le a+b\le18$ возможны только

a+b=3\quad\text{или}\quad a+b=12.

Применим признак делимости на 11

Факториал делится и на $11$ Признак делимости на $11$ разность сумм цифр на нечётных и чётных местах кратна $11$

Чередующаяся сумма напечатанной части, считая слева, равна $9$ Буква $a$ стоит на чётном месте, $b$ — на нечётном; нули ничего не добавляют. Получаем $9-a+b$

При цифрах $a,b$ эта величина лежит от $0$ до $18$ значит, её кратные $11$ — только $0$ и $11$ Поэтому

a-b=9\quad\text{или}\quad a-b=-2.

Найдём единственного кандидата

Сумма $a+b$ и разность $a-b$ имеют одинаковую чётность: их сумма равна чётному числу $2a$ Поэтому из четырёх сочетаний остаются два.

\begin{cases}a+b=3,\\a-b=9\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad a=6,\ b=-3.

Это не цифры. Во втором случае

\begin{cases}a+b=12,\\a-b=-2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad a=5,\ b=7.

Итак, единственный кандидат, прошедший признаки делимости, — запись $abcd=5700$ Это пока необходимое условие, а не доказательство равенства факториалу.

Обнаружим противоречие

Если у кандидата убрать шесть последних нулей, последняя цифра оставшегося числа — $7$ то есть оно нечётное.

Но при делении настоящего $26!$ на миллион мы убираем только шесть двоек:

1\,000\,000=2^6\cdot5^6.

В факториале было не меньше $13$ двоек, поэтому после такого деления двойки ещё остаются. Число $\frac{26!}{1\,000\,000}$ должно быть чётным. Противоречие доказывает: никакие четыре цифры не делают исходное напечатанное равенство верным.

Разберём причину ошибки в исходном варианте

Точное значение факториала равно

26!=403291461126605635584000000.

Сравним начало исходной и исправленной записей:

Запись	Первые восемь цифр
Напечатано	$40329416$
Настоящий факториал	$40329146$

В источнике переставлены шестая и седьмая цифры. После исправления начала на $4032914611266056355$ пропуски будут $8400$

Однако это уже исправленная версия. Для исходной записи ни $8400$ ни $5700$ не дают настоящего $26!$ Организаторы сами разбирают эту опечатку; сведения об оценивании сохранены в примечаниях к источнику.

Ответ

Для исходного напечатанного равенства решения нет. После исправления переставленных цифр в начале числа пропуски равны $8400$ это уже другая, исправленная запись.

Главная идея

Признаки делимости дают необходимые условия. Кандидат, прошедший несколько проверок, ещё не обязан быть верным. Независимая проверка может выявить даже ошибку в условии.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если число с пропусками должно равняться конкретному произведению, признаки делимости дают лишь кандидатов. Проверяйте другой независимый признак и отличайте необходимое условие от точного равенства.

Возможная ошибка

Остановиться на 5700 после признаков делимости на 9 и 11. Они не доказывают, что число равно факториалу; здесь проверка оставшихся двоек сразу обнаруживает противоречие.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 3 ↗

Покори Воробьёвы горы! · 2025/26 · математика · 7–8 классы · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

В опубликованном условии есть опечатка, которую организаторы прямо разбирают в официальном решении. Здесь исходная запись сохранена, а несоответствие объясняется в разборе.

Основной официальный ответ — отсутствие решений. Организаторы также сообщили, что засчитывали обоснованные ответы 5700, полученные из признаков делимости при доверии к условию, и 8400, полученные вычислением настоящего факториала. Это сведения о принятом оценивании, а не утверждение, что эти цифры делают исходное равенство верным.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Когда частное снова делится на девять →

Ломоносов · № 6

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Делители, простые числа и разложение на множители

Приёмы решения: Сравнение остатков

Задать вопрос по задаче →