Покори Воробьёвы горы!

Пешеход отправился из пункта $A$ в $9{:}15$. Велосипедист поехал за ним из $A$ в $10{:}15$ и настиг его в $10{:}30$. Оба двигались с постоянными скоростями. Во сколько велосипедисту следовало выехать из $A$, чтобы при тех же скоростях догнать пешехода уже в $10{:}00$? Время выхода пешехода остаётся прежним.

Число $4001$ является простым. Найдите все положительные целые $n$, для которых произведение $n(n+4001)$ — квадрат положительного целого числа.

В исходном варианте напечатано равенство

Буквы $a$, $b$, $c$, $d$ обозначают четыре отдельные десятичные цифры; они могут совпадать. Требуется определить эти цифры. Здесь $26!$ означает произведение $1\cdot2\cdot3\cdots26$. Черта над правой частью обозначает запись одного десятичного числа, а не произведение его цифр. Запись справа рассматривается именно в напечатанном виде.

На доске стоят все целые числа от $15$ до $40$ включительно, по одному разу. За ход выбирают две записи $a$ и $b$, стирают их и вместо них записывают $5a-3b$ и $7a-5b$. Можно ли за конечное число таких ходов получить ровно числа от $2001$ до $2026$ включительно, также по одному разу? Промежуточные числа могут быть любыми целыми.

Квадрат из $8\times8$ единичных клеток нужно целиком разрезать на одинаковые по форме и размеру восьмиугольники. Разрезать разрешается только по линиям клетчатой сетки. Восьмиугольники могут быть невыпуклыми; поворачивать детали разрешается. Какое наибольшее количество таких деталей можно получить?

$49$ волонтёров разделились на две группы. Группы начали уборку одновременно, собрали поровну мусора, но первая закончила на час позже второй. У каждой группы был один общий обеденный перерыв. Перерыв второй группы длился от $1$ часа до $1$ часа $20$ минут включительно. Если бы первая группа работала без перерыва всё время от начала до своего фактического окончания, её результат был бы в $1\frac34$ раза больше. Для второй группы при таком же сравнении результат был бы в $1\frac23$ раза больше. Производительность каждого волонтёра постоянна и одинакова. Сколько человек было в первой группе?