ПВГ 2025/26 · Математика · 7–8 кл., №1

Условие

Пешеход отправился из пункта $A$ в $9{:}15$ Велосипедист поехал за ним из $A$ в $10{:}15$ и настиг его в $10{:}30$ Оба двигались с постоянными скоростями. Во сколько велосипедисту следовало выехать из $A$ чтобы при тех же скоростях догнать пешехода уже в $10{:}00$ Время выхода пешехода остаётся прежним.

О задаче · 7–8 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Покори Воробьёвы горы!
Предмет / класс: Математика · 7–8 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 1

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 7–8 классы.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Сравним времена до встречи

В каждой паре путь до встречи один и тот же, а длины полос показывают время, не скорость.

1. Встреча в 10:30

$75$ минут пешком и $15$ минут на велосипеде: отношение скоростей равно $5$

Исходная встреча

Пешеход · 75 мин

9:15 → 10:30

Велосипедист · 15 мин

10:15 → 10:30

Одинаковый путь; интервалы времени в одном масштабе.

2. Встреча в 10:00

$45$ минут пешком и $9$ минут на велосипеде. Отсчёт назад даёт выезд в $9{:}51$

Новая встреча

Пешеход · 45 мин

9:15 → 10:00

Велосипедист · 9 мин

9:51 → 10:00

Одинаковый путь; интервалы времени в одном масштабе.

Можно показать оба случая или вернуться к первому. Неизвестное расстояние не подменяется выдуманным числом километров.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

К первой встрече оба прошли один путь. Сравните время пешехода и велосипедиста.

Подсказка 2

До $10{:}00$ пешеход идёт $45$ минут. Найденное отношение скоростей покажет, сколько минут нужно велосипедисту.

Разобрать решение по шагам

Найдём отношение скоростей

От $9{:}15$ до $10{:}30$ пешеход шёл $75$ минут; от $10{:}15$ до $10{:}30$ велосипедист ехал $15$ минут. К встрече оба прошли один и тот же путь от $A$

Для одинакового пути скорость обратно пропорциональна затраченному времени. Поэтому

\frac{v_{\text{вел}}}{v_{\text{пеш}}}=\frac{75}{15}=5.

Скорость велосипедиста в пять раз больше; сами скорости и расстояние находить не понадобилось.

Открыть модель к этому разбору ↑

Рассмотрим новую точку встречи

К $10{:}00$ пешеход успеет идти $45$ минут. Велосипедист проходит любой тот же путь в пять раз быстрее. На поездку до новой точки встречи ему нужно

\frac{45}{5}=9\text{ мин}.

Отсчитаем время назад и проверим

Отсчитываем девять минут назад от требуемой встречи:

10{:}00-9\text{ мин}=9{:}51.

Проверим: к этому моменту пешеход шёл уже $36$ минут. За следующие девять минут он пройдёт ещё девять минут пешего пути, а велосипедист — путь, равный $5\cdot9=45$ минутам пешего движения. Их расстояния от $A$ совпадут.

Ответ

В $9{:}51$

Главная идея

Одинаковое расстояние позволяет найти отношение скоростей по обратному отношению времён. Само расстояние знать не нужно.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда разные участники прошли одинаковый путь, отношение их времён определяет обратное отношение скоростей. Затем можно менять точку встречи, не находя само расстояние.

Возможная ошибка

Просто передвинуть прежний выезд на полчаса назад. При новой встрече меняются и длительность движения пешехода, и расстояние до точки встречи.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Покори Воробьёвы горы! · 2025/26 · математика · 7–8 классы · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь как произведение скорости на время
перевод единиц времени

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →