Произведение должно стать квадратом

Разделим все возможности на два случая

Обозначим простое число $4001$ буквой $p$. Общий делитель $n$ и $n+p$ обязательно делит и разность:

У простого числа только положительные делители $1$ и $p$. Значит, наибольший общий делитель двух множителей равен либо $1$, либо $p$. Это исчерпывает все случаи.

Исключим случай, когда n делится на p

Пусть $n=pk$, где $k$ — положительное целое. Тогда

Если это квадрат $m^2$, то $m$ делится на $p$. После деления на $p^2$ число $k(k+1)$ также должно быть квадратом целого числа.

Но оно строго между двумя соседними квадратами:

Первое неравенство следует из $k>0$, второе — из $k<k+1$. Между квадратами соседних положительных целых чисел нет квадрата целого числа. Этот случай невозможен.

В оставшемся случае оба множителя — квадраты

Остаётся случай взаимной простоты $n$ и $n+p$. Почему теперь каждый множитель обязан быть квадратом?

В квадрате каждый простой множитель встречается чётное число раз. При взаимной простоте ни один простой множитель не может быть «разделён» между $n$ и $n+p$: все его вхождения находятся в одном из них. Следовательно, показатели простых множителей в каждом числе чётны.

Можно записать

где $x$ и $y$ — целые.

Используем простоту разности

Разность квадратов равна простому числу:

Оба множителя положительные целые, причём $y+x>y-x$. Единственное такое разложение простого числа — $1\cdot4001$. Значит,

Складывая равенства, получаем $2y=4002$, то есть $y=2001$; затем $x=y-1=2000$.

Запишем ответ и подтвердим существование

Итак,

Обратная проверка:

Найденное значение действительно подходит. Первый случай исключён, во втором найдено ровно одно значение: других ответов нет.