ПВГ 2025/26 · Математика · 7–8 кл., №5

Условие

Квадрат из $8\times8$ единичных клеток нужно целиком разрезать на одинаковые по форме и размеру восьмиугольники. Разрезать разрешается только по линиям клетчатой сетки. Восьмиугольники могут быть невыпуклыми; поворачивать детали разрешается. Какое наибольшее количество таких деталей можно получить?

Только исходная сетка 8 × 8: удачное разрезание в условии не показано.

О задаче · 7–8 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Покори Воробьёвы горы!
Предмет / класс: Математика · 7–8 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 5

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7–8 классы.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

От одной детали к достижимому максимуму

Каждое состояние добавляет следующий необходимый факт: восемь сторон, точная укладка маленького квадрата, повторение на всём поле.

1. Восемь сторон

Четыре клетки образуют один восьмиугольник. Цифры отмечают восемь вершин при обходе границы.

2. Четыре детали

Квадрат $4\times4$ покрыт четырьмя одинаковыми Т-деталями. Цвет и толстый контур показывают каждую деталь; тонкие линии внутри неё — границы клеток.

3. Шестнадцать деталей

Повторение четырёх маленьких блоков даёт точное покрытие всех $64$ клеток шестнадцатью равными восьмиугольниками.

Контуры деталей выделены независимо от цвета.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Одинаковые детали имеют одну и ту же целую площадь. Эта площадь должна делить $64$

Подсказка 2

Возьмите четыре клетки буквой Т. Сколько поворотов при обходе границы? Попробуйте сначала заполнить ими квадрат $4\times4$

Разобрать решение по шагам

Свяжем число деталей с их площадью

Разрезы идут по границам клеток, поэтому каждая деталь состоит из целого числа клеток. Пусть её площадь равна $s$ а деталей $k$ Все детали одинаковы и целиком заполняют $64$ клетки:

ks=64.

Значит, $s$ — положительный делитель $64$

s\in\{1,2,4,8,16,32,64\}.

Получим верхнюю границу

Одна клетка — квадрат с четырьмя сторонами. Связная деталь из двух клеток — прямоугольник $1\times2$ тоже с четырьмя сторонами. Поэтому площади $1$ и $2$ не годятся.

Следующая допустимая площадь — $4$ В любом разрезании поэтому

k\le\frac{64}{4}=16.

Это лишь верхняя граница. Теперь необходимо построить разрезание на шестнадцать деталей: без него максимум ещё не доказан.

Найдём четырёхклеточный восьмиугольник

Возьмём три соседние клетки в одном ряду и одну клетку под средней. Получится Т-образная деталь.

При обходе её границы направление меняется восемь раз, значит, это восьмиугольник. На первом состоянии схемы отмечены именно восемь поворотов, а не все узлы сетки: точка посередине прямой стороны новым углом не является.

Открыть модель к этому разбору ↑

Заполним маленький квадрат

Квадрат $4\times4$ разбивается на четыре такие Т-детали. На втором состоянии схемы каждая деталь выделена цветом и собственным толстым контуром.

Верхняя деталь занимает три клетки верхнего ряда и клетку под средней из них. Остальные три — её повороты вдоль левого, нижнего и правого края. У каждой детали четыре клетки. На рисунке видно, что они вместе закрывают все $16$ клеток без пропусков и перекрытий.

Увеличим конструкцию до 8×8

Разделим исходный квадрат на четыре квадрата $4\times4$ и повторим в каждом построенное разрезание. Получим

4\cdot4=16

одинаковых деталей. Все разрезы идут по сетке. Это достигает доказанной верхней границы, поэтому максимум равен $16$

Ответ

$16$ одинаковых восьмиугольников.

Главная идея

В задаче о максимуме нужны две части: доказать, что больше нельзя, и построить пример, достигающий найденной границы.

Как заметить эту идею в другой задаче

Формулировка «наибольшее число одинаковых частей» подсказывает связать количество с площадью одной части. Дальше нужны и запрет на меньшую площадь, и реальное покрытие.

Возможная ошибка

Принять $\frac{64}{4}=16$ за готовое решение, не показав само разрезание. Или считать отдельными сторонами отрезки сетки, лежащие на одной прямой: стороны многоугольника заканчиваются там, где его граница поворачивает.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 5 ↗

Покори Воробьёвы горы! · 2025/26 · математика · 7–8 классы · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

Отрезки, углы, равные фигуры
чтение чертежа

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →