ПВГ 2025/26 · Математика · 7–8 кл., №4

Условие

На доске стоят все целые числа от $15$ до $40$ включительно, по одному разу. За ход выбирают две записи $a$ и $b$ стирают их и вместо них записывают $5a-3b$ и $7a-5b$ Можно ли за конечное число таких ходов получить ровно числа от $2001$ до $2026$ включительно, также по одному разу? Промежуточные числа могут быть любыми целыми.

О задаче · 7–8 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Покори Воробьёвы горы!
Предмет / класс: Математика · 7–8 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 4

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7–8 классы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проследите не за величиной чисел, а за тем, какие из них делятся на $5$

Подсказка 2

Для делимости $5a-3b$ на $5$ важен только $b$ а для $7a-5b$ — только $a$ Что происходит с количеством кратных $5$

Разобрать решение по шагам

Проверим первое новое число

В первом новом числе часть $5a$ всегда делится на $5$ Поэтому на делимость всей разности влияет только $3b$

5\mid(5a-3b)\quad\Longleftrightarrow\quad5\mid3b\quad\Longleftrightarrow\quad5\mid b.

Знак $5\mid b$ означает « $b$ делится на $5$ ». Последняя равносильность верна потому, что множитель $3$ не содержит пятёрки: он не может добавить её к разложению $b$

Проверим второе новое число

Во втором новом числе слагаемое $5b$ уже делится на $5$ Аналогично,

5\mid(7a-5b)\quad\Longleftrightarrow\quad5\mid7a\quad\Longleftrightarrow\quad5\mid a.

Значит, признак «делится на $5$ » у первого нового числа совпадает с признаком старого $b$ а у второго — старого $a$ Меняются местами именно признаки, а не значения чисел.

Сформулируем инвариант

В выбранной паре было либо ноль, либо одно, либо два числа, кратных $5$ После хода их остаётся столько же. Все остальные записи не меняются.

Итак, количество записей, кратных $5$ сохраняется после каждого хода. Такая сохраняемая характеристика называется инвариантом; она останется прежней и после любой конечной цепочки ходов.

Сравним начало и требуемый конец

В начале кратны $5$ шесть чисел:

15,20,25,30,35,40.

В требуемом конце таких чисел пять:

2005,2010,2015,2020,2025.

Инвариант должен был бы измениться с шести на пять, что невозможно. Это исключает сразу все последовательности ходов, а не только несколько испробованных.

Ответ

Нет, переход невозможен: число кратных $5$ записей должно сохраняться.

Главная идея

Чтобы доказать невозможность длинного процесса, найдите величину, сохраняющуюся при каждом отдельном ходе. Здесь сохраняется количество чисел, кратных 5.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задаче о преобразованиях чисел ищите не только сохраняемую сумму. Коэффициенты, кратные одному модулю, могут сохранять число записей с определённым остатком или свойством.

Возможная ошибка

Сравнивать только суммы или пробовать несколько цепочек замен. Неудачные попытки не исключают все варианты; инвариант исключает их сразу.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 4 ↗

Покори Воробьёвы горы! · 2025/26 · математика · 7–8 классы · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Остатки и последние цифры →

Тема, знания и приёмы

Остатки и последние цифры · Нужна школьная база

Деление с остатком
целые степени

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →