ПВГ 2025/26 · Математика · 7–8 кл., №6

Условие

$49$ волонтёров разделились на две группы. Группы начали уборку одновременно, собрали поровну мусора, но первая закончила на час позже второй. У каждой группы был один общий обеденный перерыв. Перерыв второй группы длился от $1$ часа до $1$ часа $20$ минут включительно. Если бы первая группа работала без перерыва всё время от начала до своего фактического окончания, её результат был бы в $1\frac34$ раза больше. Для второй группы при таком же сравнении результат был бы в $1\frac23$ раза больше. Производительность каждого волонтёра постоянна и одинакова. Сколько человек было в первой группе?

О задаче · 7–8 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Покори Воробьёвы горы!
Предмет / класс: Математика · 7–8 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: задача 6

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7–8 классы.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Полное время состоит из работы и обеда

Начало и конец каждого обеденного перерыва не заданы. Показываем состав времени, не придумывая расписание.

1. Доли общего времени

Для первой группы работа занимает $\frac47(t+1)$ для второй — $\frac35t$ Длины полос здесь условны: они показывают доли каждой группы, а не общий масштаб часов.

2. Проверка найденного случая

Теперь показаны конкретные длительности в общем масштабе: $3{,}5$ и $2{,}5$ часа. Рабочие времена $2$ и $1{,}5$ часа дают $21\cdot2=28\cdot1{,}5$

Расположение обеденного блока не означает, что обе группы обедали в конце; важно лишь общее число часов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Различайте полное время и чистое время работы. Если результат без перерыва больше в $\frac74$ раза, какую долю полного времени группа работала?

Подсказка 2

Пусть вторая закончила через $t$ часов. Её обед занимает $\frac25t$ Сначала ограничьте $t$ затем используйте равенство результатов и целое число людей.

Разобрать решение по шагам

Введём времена, включая обед

Пусть в первой группе $n$ человек, во второй $49-n$ Обозначим через $t$ всё время от общего старта до окончания второй группы, включая обед. Первая закончила через $t+1$ часов.

Обе группы непустые:

1\le n\le48.

Важно, что $t$ — время пребывания, а не чистой работы.

Выразим чистое рабочее время

При постоянной производительности результат одной группы пропорционален чистому времени её работы.

Без обеда первая группа работала бы $t+1$ часов и получила бы в $\frac74$ раза больше. Поэтому её фактическое время работы равно

T_1=\frac{t+1}{7/4}=\frac47(t+1).

Для второй группы аналогично:

T_2=\frac{t}{5/3}=\frac35t.

На схеме ниже показаны доли общего времени. Положение обеденного отрезка условно: момент начала обеда не задан.

Открыть модель к этому разбору ↑

Используем продолжительность второго обеда

Обед второй группы занимает оставшееся время:

t-T_2=t-\frac35t=\frac25t.

Один час двадцать минут — это $\frac43$ часа, а не $1{,}20$ часа. По условию

1\le\frac{2t}{5}\le\frac43.

Умножаем все части на положительное $\frac52$

\frac52\le t\le\frac{10}{3}.

Вторая группа провела в парке от двух часов тридцати минут до трёх часов двадцати минут.

Переведём равенство мусора в уравнение

Количество мусора равно числу людей, умноженному на чистое рабочее время и на производительность одного человека. Последний множитель одинаковый и сокращается.

Равное количество мусора даёт

n\cdot\frac47(t+1)=(49-n)\cdot\frac35t.

Делим на положительные $49-n$ и $\frac47(t+1)$

\frac n{49-n}=\frac{21t}{20(t+1)}=\frac{21}{20}\cdot\frac t{t+1}.

Ограничим отношение размеров групп

При росте положительного $t$ величина

\frac t{t+1}=1-\frac1{t+1}

растёт: вычитаемая дробь уменьшается. На найденном промежутке крайние значения равны

\frac{5/2}{5/2+1}=\frac57,\qquad\frac{10/3}{10/3+1}=\frac{10}{13}.

Умножив границы на $\frac{21}{20}$ получаем

\frac34\le\frac n{49-n}\le\frac{21}{26}.

Используем целое число людей

Так как $49-n>0$ можно умножать на этот знаменатель без изменения знаков.

Из левой границы:

4n\ge3(49-n),\qquad7n\ge147,\qquad n\ge21.

Из правой:

26n\le21(49-n),\qquad47n\le1029.

Но $47\cdot22=1034>1029$ поэтому $n<22$ Между $21$ включительно и $22$ исключительно есть только одно целое число — $21$

Проверим, что такой случай существует

Возьмём $21$ человека в первой группе и $28$ во второй. Подходящие времена:

Группа	Работа	Обед	Всего
Первая	$2$ ч	$1{,}5$ ч	$3{,}5$ ч
Вторая	$1{,}5$ ч	$1$ ч	$2{,}5$ ч

Результаты равны:

21\cdot2=28\cdot1{,}5=42\text{ человеко-часа}.

Окончания отличаются на час, второй обед входит в заданный интервал. Без обеда результаты выросли бы в нужное число раз:

\frac{3{,}5}{2}=\frac74,\qquad\frac{2{,}5}{1{,}5}=\frac53.

Таким образом, найденное целое значение не только необходимо, но и осуществимо.

Ответ

В первой группе $21$ человек, во второй $28$

Главная идея

Данные с интервалом могут определить точный ответ, если искомая величина целая. Сначала превратите слова о производительности в рабочее время, затем используйте границы.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если условие даёт интервал, но ответ — целое число, сначала получите точные границы этого числа или его возрастающей функции. Узкий промежуток может оставить единственную возможность.

Возможная ошибка

Назвать t чистым временем работы и затем ещё раз вычесть из него обед. Здесь t — всё время пребывания второй группы, а чистая работа составляет $\frac{3t}{5}$ Ещё одна ловушка: 1 час 20 минут — это $\frac43$ часа, а не 1,20 часа.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 6 ↗

Покори Воробьёвы горы! · 2025/26 · математика · 7–8 классы · заключительный этап.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

В пересказе явно уточнено: сравнение с работой без перерыва производится за тот же промежуток от общего старта до фактического окончания соответствующей группы. Именно эту интерпретацию использует официальный разбор.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Работа и производительность →

Тема, знания и приёмы

Работа и производительность · Нужна школьная база

Дроби
связь объёма работы, производительности и времени

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →