Когда частное снова делится на девять

Получите сильное необходимое условие

По условию для некоторого натурального $k$ выполнено

Сначала получаем, что $n$ делится на $9$. Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на $9$, поэтому $S(n)$ тоже кратна $9$. Запишем $S(n)=9m$:

Итак, всякое подходящее число обязательно делится на $81$. Но обратный вывод пока не доказан.

Составьте полный короткий список кандидатов

Первое трёхзначное кратное $81$ — $162=2\cdot81$, последнее — $972=12\cdot81$. Поэтому осталось проверить всего $11$ чисел, от $2\cdot81$ до $12\cdot81$.

Например, $162$ имеет сумму цифр $9$, и $\frac{162}{9}=18$ делится на $9$. Однако $567$ имеет сумму цифр $18$, и $\frac{567}{18}=\frac{63}{2}$ даже не целое. Кратность $81$ сама по себе недостаточна.

Проверьте исходное условие, а не только кратность 81

Проверяем все оставшиеся кандидаты по исходному требованию.

Ни одно другое трёхзначное число не могло пройти необходимое условие из первого шага. Значит, проверка полная.

Пронумеруйте подходящие числа и выполните требуемое сложение

Нумеруем уже отобранные числа, а не первоначальных кандидатов.

Первый, шестой и последний элементы дают